Considere a circunferência $C$ de equação $x^2+ y^2+ 2x + 2y + 1 = 0$ e a elipse $E$ de equação $x^2+ 4y^2- 4x + 8y +4 = 0$. Então:


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ITA IIIT 28/01/2022 21:46
$-$ Analisando $C$ \begin{matrix} C: (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + \color{royalblue}{1}) = \color{royalblue}{1} \\ \Downarrow \\ C: (x +1)^2 + (y +1)^2 = 1^2 \\ \Downarrow \\ C: (-1 \ , -1 ) \end{matrix} $-$ Analisando $E$ \begin{matrix} E: (x^2 - 4x + 4) + 4.(y^2 + 2y + \color{royalblue}{1}) = \color{royalblue}{1} \\ \Downarrow \\ E: \large{ \frac{(x -2)^2}{4} + \frac{(y +1)^2 }{1} }= 1 \\ \Downarrow \\ E: (2 \ , -1 ) \end{matrix} $-$ Agora, perceba que podemos substituir $(y +1)^2$ de $C$ em $E$, o que nos resultará numa equação de segundo grau em $x$, a qual irá nos trazer a solução da questão. \begin{matrix} (x-2)^2 = 4.(x+1)^2 \\ \Downarrow \\ x.(x+4) = 0 \\ \Downarrow \\ x = 0 \ \ \ , \ \ x = -4 \end{matrix} $-$ Repare que, $x=-4$ não serve, pois a elipse, e também circunferência sequer estão contidas nessa coordenada, o que claramente inviabiliza essa solução. Portanto, sabido que $x=0$ satisfaz, temos um único ponto, o que significa $\text{elas serem tangentes}$, e com um esboço ou até mesmo análise dos seus centros, é possível inferir que são $\text{exteriores}$. \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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