Resolução ITA 1999 Matemática

11 ITA 1999 - Matemática

Sejam $a_{k}$ e $b_{k}$ números reais com $k = 1, 2, ..., 6$ . Os números complexos $z_{k} = a_{k} + i b_{k}$ são tais que $∣ z_{k} ∣ = 2$ e $b_{k} \geq 0$ , para todo $k = 1, 2, ..., 6.$ Se $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{6})$ é uma progressão aritmética de razão $- 1/5$ e soma $9$ , então $z_{3}$ é igual a:

ITA IIIT 01/03/2022 21:09

Da progressão aritmética, podemos tirar que:\begin{matrix}S = \dfrac{(a_1 + a_6)\cdot 6}{2} = 9 &\Rightarrow& a_1 = 2 &\Rightarrow& \fbox{$a_3 = {\dfrac{8}{5}}$} \end{matrix}Segundo enunciado, $|z_3| = 2$ , então: \begin{matrix} |z|^2 = 2^2 &\Rightarrow& (a_3)^2 + (b_3)^2 = 2^2 &\Rightarrow& \fbox{$b_3 = {\dfrac{6}{5}}$} \end{matrix}Portanto, \begin{matrix}\fbox{$z_3 = {\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i}$} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}

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