A soma de todos os valores de $a \in [0, 2\pi[ $ que tornam o sistema $$\begin{cases} x + y + z = 0\\ x \sin a + y\cos a + z (2\sin a + \cos a) = 0\\ x \sin^2 a + y \cos^2 a + z(1 + 3\sin^2 a + 2\sin 2a) = 0 \end{cases}$$possível e indeterminado é:


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ITA IIIT 29/04/2022 15:21
A priori, pode-se perceber que o sistema é homogêneo, ou seja, ele é possível. Nesse viés, com conhecimento das $\text{Regras de Cramer}$, têm-se: \begin{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \sin{a} & \cos{a} & (2\sin{a} + \cos{a}) \\ \sin^2{a} & \cos^2{a} & (2\sin{a} + \cos{a})^2 \end{vmatrix} &=& 0 \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ $(2\sin{a} + \cos{a})^2 = (1 + 3\sin^2{a} + 2\sin{2a})$ Atente que, a matrix acima é uma $\text{Matriz de Vandermonde}$, esta que possui uma relação característica, que por ela encontramos: \begin{matrix} (\cos{a} - \sin{a})^2(2\sin{a}) &=& 0 \end{matrix}$• \ 2\sin{a}=0$ \begin{matrix} a = k\pi &\Rightarrow& 0 \le k\pi < 2\pi &\therefore& k = \{0,1\} &,& k \in \mathbb{Z}^+ \end{matrix}\begin{matrix} a = \{0 \ , \ \pi \} \end{matrix}$• \ \cos{a}-\sin{a}=0$ \begin{matrix} \tan{a} = 1 &\Rightarrow& a = {\large{\frac{\pi}{4}}} + {\large{\frac{\pi}{2}}}k &\Rightarrow& 0 \le {\large{\frac{\pi}{4}}} + {\large{\frac{\pi}{2}}}k < 2\pi &\therefore& k = \{0,1,2,3\} &,& k \in \mathbb{Z}^+ \end{matrix}\begin{matrix} a = \{{\large{\frac{\pi}{4}}}\ , \ {\large{\frac{3\pi}{4}}} \ , \ {\large{\frac{5\pi}{4}}} \, \ {\large{\frac{7\pi}{4}}} \} \end{matrix}Portanto, a soma $(S)$ de todos os valores de $a$ é: \begin{matrix} S &=& 0 &+& \pi &+& {\large{\frac{\pi}{4}}} &+& {\large{\frac{3\pi}{4}}} &+& {\large{\frac{5\pi}{4}}} &+& {\large{\frac{7\pi}{4}}} &=& 5\pi \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}
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