Inicialmente, pode-se perceber que o sistema é homogêneo, ou seja, ele é possível. Nesse viés, com conhecimento das $\text{Regras de Cramer}$, têm-se: \begin{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \sin{a} & \cos{a} & (2\sin{a} + \cos{a}) \\ \sin^2{a} & \cos^2{a} & (2\sin{a} + \cos{a})^2 \end{vmatrix} &=& 0 \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ $(2\sin{a} + \cos{a})^2 = (1 + 3\sin^2{a} + 2\sin{2a})$ Atente que a matrix acima é uma $\text{Matriz de Vandermonde}$, esta que possui uma relação característica, que por ela encontramos: \begin{matrix} (\cos{a} - \sin{a})(\cos{a} + \sin{a})(2\sin{a}) &=& 0 \end{matrix}$• \ 2\sin{a}=0$ \begin{matrix} a = k\pi &\Rightarrow& 0 \le k\pi < 2\pi &\therefore& k = \{0,1\} &,& k \in \mathbb{Z}^+ \end{matrix}\begin{matrix} a = \{0 \ , \ \pi \} \end{matrix}$• \ \cos{a}-\sin{a}=0$ \begin{matrix} \tan{a} = 1 &\Rightarrow& a = \dfrac{\pi}{4} &\vee & \dfrac{5\pi}{4} \end{matrix} $• \ \cos{a}+\sin{a}=0$ \begin{matrix} \tan{a} = -1 &\Rightarrow& a = \dfrac{3\pi}{4} &\vee & \dfrac{7\pi}{4} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} a = \{ {\dfrac{\pi}{4}} \ , \ {\dfrac{3\pi}{4}} \ , \ {\dfrac{5\pi}{4}} \, \ {\dfrac{7\pi}{4}} \} \end{matrix}Portanto, a soma $(S)$ de todos os valores de $a$ é: \begin{matrix} S &=& 0 &+& \pi &+& {{\dfrac{\pi}{4}}} &+& {{\dfrac{3\pi}{4}}} &+& {{\dfrac{5\pi}{4}}} &+& {{\dfrac{7\pi}{4}}} &=& 5\pi \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}