Pensando na matriz $AB$, pode-se escrever: \begin{matrix}AB &=& \begin{bmatrix} 2+a & a \\ 1& 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ a & 2+a \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a^2+a+2 & (2+a)(1+a) \\ 1+a& 3+a \end{bmatrix} \end{matrix}Vamos trabalhar com cofatores, assim, calculando o determinante da matriz $AB$, encontramos:\begin{matrix}det(AB) = (a^2+a+2)(a+3) - (a+2)(a+1)^2 &\therefore& det(AB) = 4 \end{matrix}Então os elementos da diagonal principal da matriz inversa de $AB$ são: \begin{matrix}(ab)^{-1}_{11} = \dfrac{C_{11}}{det(AB)} = \dfrac{(-1)^{1+1} \cdot (2+a)}{4} &\Rightarrow& (ab)^{-1}_{11} = \dfrac{2+a}{4} \\ \\ (ab)^{-1}_{22} = \dfrac{C_{22}}{det(AB)} = \dfrac{(-1)^{2+2} \cdot (a^2+a+2)}{4} &\Rightarrow& (ab)^{-1}_{11} = \dfrac{a^2+a+2}{4} \end{matrix}Portanto, a soma dos elementos da diagonal é:\begin{matrix} (ab)^{-1}_{11} + (ab)^{-1}_{22} &=& \dfrac{2+a}{4} + \dfrac{a^2+a+2}{4} &=& \dfrac{1}{4}(5+2a+a^2) & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Um resultado útil e notório é que: \begin{matrix} A = \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} &\Rightarrow& A^{-1} = \dfrac{1}{\det{A}} \begin{bmatrix} d&-b\\-c&a \end{bmatrix} \end{matrix}