Conhecida as $\text{Fórmulas de Viète}$, pode-se escrever: \begin{cases} \begin{matrix}e^{x_1} + e^{x_2} + e^{x_3} &=& -\dfrac{a}{2}& (1) \\ e^{x_1 + x_2} + e^{x_1 + x_3} + e^{x_2 + x_3} &=& \dfrac{7}{2} & (2) \\ e^{x_1 + x_2 + x_3} &=& -\dfrac{b}{2} & (3)\end{matrix} \end{cases}Como sabemos que a soma das três raízes é igual a zero, por $(3)$ concluímos que $\boxed{b=-2}$. Nesse contexto, podemos pensar na progressão aritmética, tal que ela apresente razão igual a $r$, então:\begin{matrix} \underset{i=1}{\overset{3}{\sum}} x_i &=& x_1 + x_2 +x_3 &=& 3x_1+ 3r &=& 0 &\therefore& x_1 + r = 0 \end{matrix}Analisando $(1)$ e $(2)$, encontra-se:\begin{array}{} \begin{cases} \begin{matrix}e^{x_1}(1 + e^r + e^{2r} ) &=& -\dfrac{a}{2}\\ e^{2x_1 +r} (1 + e^r + e^{2r} ) &=& \dfrac{7}{2} \end{matrix} &\overset{(2):(1)}{\Rightarrow}& e^{x_1 + r} = -\dfrac{7}{a} &\therefore& \boxed{a = -7} \end{cases}\end{array}Constata-se então que temos uma equação polinomial de segunda espécie, em que o resultado solicitado pelo enunciado é: $\boxed{a-b = -5}$\begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}