O primeiro planeta descoberto fora do sistema solar, 51 Pegasi B, orbita a estrela 51 Pegasi, completando uma revolução a cada 4,2 dias. A descoberta do 51 Pegasi B, feita por meios espectroscópicos, foi confirmada logo em seguida por observação direta do movimento periódico da estrela devido ao planeta que a orbita. Conclui-se que 51 Pegasi B orbita a estrela 51 Pegasi a 1/20 da distância entre o Sol e a Terra. Considere as seguintes afirmações: se o semi-eixo maior da órbita do planeta 51 Pegasi B fosse 4 vezes maior do que é, então:
I- A amplitude do movimento periódico da estrela 51 Pegasi, como visto da Terra, seria 4 vezes maior do que é.
II- A velocidade máxima associada ao movimento periódico da estrela 51 Pegasi, como visto da Terra, seria 4 vezes maior do que é.
III- O período de revolução do planeta 51 Pegasi B seria de 33,6 dias.
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$
Admitindo que não haja forças externas ao sistema estrela-planeta, pode-se partir da $\text{primeira lei de Kepler}$, tal que sabemos que ambos os corpos possuem e orbitam um centro de massa comum. No caso, vamos definir o a distância entre a estrela e o planeta de $R$, em que constatamos a situação abaixo:
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Desse modo, temos: \begin{matrix} R = x+y &\Rightarrow& \Delta R = \Delta x + \Delta y
\end{matrix}Como não existem forças externas ao sistema, sabemos que a variação da quantidade de movimento é nula. Com isso, vamos denotar a massa da estrela de $M$ e a do planeta de $m$, então:\begin{matrix}\Delta \vec{p} = 0 &\Rightarrow& \underbrace{M \cdot \Delta V - m \cdot \Delta v = 0}_{\text{A velocidade dos corpos estão em sentidos opostos}} &|& \Delta V = \dfrac{\Delta \omega \cdot \Delta x}{\Delta t} &,& \Delta v = \dfrac{\Delta \omega \cdot \Delta y}{\Delta t}
\end{matrix}Observe que a frequência angular, assim como suas respectivas variações devem ser as mesmas para cada corpo, senão a estrutura do movimento entre os corpos se alteraria. Nesse viés, para um mesmo intervalo de tempo, têm-se:\begin{matrix} M \cdot \Delta x - m \cdot \Delta y = 0 &\Rightarrow& M \cdot \Delta x - m \cdot (\Delta R - \Delta x )= 0 &\therefore& \Delta x = \dfrac{m}{M+m} \cdot \Delta R
\end{matrix}Por fim, nota-se que a variação do raio é diretamente proporcional a variação da amplitude do movimento da estrela, ou seja, se o raio aumenta em quatro vezes, a amplitude também aumenta em quatro vezes.
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
Pensando na conservação do momento angular da estrela, têm-se:\begin{matrix}\Delta \vec{L} = 0 &\Rightarrow& \vec{L}_{\text{1}} = \vec{L}_{\text{2}} &\Rightarrow& M \cdot v_1 \cdot x_1 = M \cdot v_2 \cdot x_2 &\therefore& v_2 = v_1 \cdot \dfrac{x_1}{x_2}
\end{matrix}Nesse perspectiva, se $x_2$ for maior que $x_1$, certamente teremos uma decréscimo da velocidade.
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$
Com conhecimento da $\text{terceira lei de Kepler}$, têm-se:\begin{matrix}
\dfrac{(4,2)^2}{R^3} = \dfrac{T^2}{(4R)^3} &\therefore& T = 33,6 \ \text{dias}
\end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C)
\end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Os resultados seriam os mesmos admitindo a órbita circular.
