Sejam $m \in \mathbb{N}$ e $n \in \mathbb{R}^*_+$ com $ m \geq 10$ e $x \in \mathbb{R}^*_+$ . Seja $D$ o desenvolvimento do binômio $(a + b)^m$, ordenado segundo as potências crescentes de $b$. Quando $a = x^n$ e $b = x^{-n^2}$ , o sexto termo de $D$ fica independente de $x$. Quando $a = x$ e $b = x^{-1/n}$ , o oitavo termo de $D$ se torna independente de $x$. Então $m$ é igual a


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ITA IIIT 19/11/2021 23:14
$-$ A questão requer basicamente o conhecimento acerca do $\text{Termo Geral do Binômio de Newton}$: \begin{matrix} (a+ b)^n & \Rightarrow & T_{k+1} = {n \choose k} . a^{n-k}.b^{k} \end{matrix} $\color{orangered}{Adendo:}$ O termo ser independente de $x$ significa ele possuir valor unitário no desenvolvimento do Termo Geral, o que não é nada mais que zerar o expoente de $x$. • Sexto termo de $(x^n + x^{-n^2})^m$\begin{matrix} k+1 = 6 &\therefore& k = 5 \end{matrix} \begin{matrix} T_6 = {m \choose 5} . (x^n)^{m-5}.(x^{-n^2})^{5} &\Rightarrow& T_6 = {m \choose 5} . (x)^{[n.(m-5) - 5n^2]} &\Rightarrow& n.(m-5) - 5n^2 =0 \ \ , \ \ n > 0 &\therefore& n = {\large{\frac{m-5}{5}}} \end{matrix} • Oitavo termo de $(x + x^{-1/n})^m$ \begin{matrix} k+1 = 8 &\therefore &k = 7 \end{matrix} \begin{matrix} T_8 = {m \choose 7} . (x)^{m-7}.(x^{-1/n})^{7} &\Rightarrow &T_8 = {m \choose 7} . (x)^{[(m-7) - 7/n]} \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} (m-7) - \frac{7}{n} = 0 &\Rightarrow & (m-5).(m-7) = 35 &\Rightarrow & m^2 - 12m = 0 \ \ , \ \ m \ge 10 &\therefore& m = 12 \end{matrix} \begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}
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