Sejam $p_1(x)$, $p_2(x)$ e $p_3(x)$ polinômios na variável real $x$ de graus $n_1$, $n_2$ e $n_3$, respectivamente, com $n_1 > n_2 > n_3$. Sabe-se que $p_1(x)$ e $p_2(x)$ são divisíveis por $p_3(x)$. Seja $r(x)$ o resto da divisão de $p_1(x)$ por $p_2(x)$. Considere as afirmações:
I - $r(x)$ é divisível por $p_3(x)$.
II - $p_1(x) – \frac{1}{2} p_2(x)$ é divisível por $p_3(x)$.
III - $p_1(x)\cdot r(x)$ é divisível por $p_3(x)^2$.
Então,
Segundo enunciado, podemos escrever:\begin{matrix} \underbrace{p_1(x) = p_2(x).q(x) +r(x)}_{(1)} &&,&& \underbrace{p_1(x) = p_3(x).q_1(x)}_{(2)} &&,&& \underbrace{p_2(x) = p_3(x).q_2(x)}_{(3)}
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Utilizando $(1)$, $(2)$ e $(3)$, temos:\begin{matrix} \underbrace{p_1(x) - r(x) = p_2(x).q(x)}_{(1)} &\Rightarrow& \underbrace{p_3(x).q_1(x)}_{(2)} - r(x) = \underbrace{p_3(x).q_2(x)}_{(3)}.q(x)
\end{matrix}Ajeitando, \begin{matrix} r(x) &=& p_3(x) &.& [ \ q(x)q_2(x) -q_1(x) \ ]
\end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Utilizando $(2)$ e $(3)$, têm-se:\begin{matrix} \underbrace{p_1(x) = p_3(x).q_1(x)}_{(2)} &,& \underbrace{p_2(x) = p_3(x).q_2(x)}_{(3)}
\end{matrix}Fazendo $(2) - \dfrac{1}{2}(3)$:
\begin{matrix} p_1(x) &-& \frac{1}{2}p_2(x) &=& p_3(x) & . & [ \ q_1(x) - \frac{1}{2}q_2(x) \ ]
\end{matrix}$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Multiplicando o nosso resultado da primeira afirmativa por $p_1(x)$, \begin{matrix} r(x) \ . \ p_1(x) &=& p_3(x) &.& [ \ q(x)q_2(x) -q_1(x) \ ] & . &p_1(x)
\end{matrix}Substituindo $p_1(x)$ por $(2)$, \begin{matrix} r(x) \ . \ p_1(x) &=& p_3(x) &.& [ \ q(x)q_2(x) -q_1(x) \ ] & . & p_3(x).q_1(x)
\end{matrix}Portanto, \begin{matrix} r(x) \ . \ p_1(x) &=& [ \ p_3(x) \ ]^2 &.& [ \ q(x)q_2(x)q_1(x) - q^2_1(x) \ ]
\end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D)
\end{matrix}
