Segundo enunciado, podemos escrever:\begin{matrix} \underbrace{p_1(x) = p_2(x).q(x) +r(x)}_{(1)} &&,&& \underbrace{p_1(x) = p_3(x).q_1(x)}_{(2)} &&,&& \underbrace{p_2(x) = p_3(x).q_2(x)}_{(3)} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Utilizando $(1)$, $(2)$ e $(3)$, temos:\begin{matrix} \underbrace{p_1(x) - r(x) = p_2(x).q(x)}_{(1)} &\Rightarrow& \underbrace{p_3(x).q_1(x)}_{(2)} - r(x) = \underbrace{p_3(x).q_2(x)}_{(3)}.q(x) \end{matrix}Ajeitando, \begin{matrix} r(x) &=& p_3(x) &.& [ \ q(x)q_2(x) -q_1(x) \ ] \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Utilizando $(2)$ e $(3)$, têm-se:\begin{matrix} \underbrace{p_1(x) = p_3(x).q_1(x)}_{(2)} &,& \underbrace{p_2(x) = p_3(x).q_2(x)}_{(3)} \end{matrix}Fazendo $(2) - \dfrac{1}{2}(3)$: \begin{matrix} p_1(x) &-& \frac{1}{2}p_2(x) &=& p_3(x) & . & [ \ q_1(x) - \frac{1}{2}q_2(x) \ ] \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Multiplicando o nosso resultado da primeira afirmativa por $p_1(x)$, \begin{matrix} r(x) \ . \ p_1(x) &=& p_3(x) &.& [ \ q(x)q_2(x) -q_1(x) \ ] & . &p_1(x) \end{matrix}Substituindo $p_1(x)$ por $(2)$, \begin{matrix} r(x) \ . \ p_1(x) &=& p_3(x) &.& [ \ q(x)q_2(x) -q_1(x) \ ] & . & p_3(x).q_1(x) \end{matrix}Portanto, \begin{matrix} r(x) \ . \ p_1(x) &=& [ \ p_3(x) \ ]^2 &.& [ \ q(x)q_2(x)q_1(x) - q^2_1(x) \ ] \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}