Analisando o sistema, podemos reescrever o sistema em sua forma matricial:\begin{matrix}\begin{bmatrix} 0 & c & b \\ c &0& a \\ b&a&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos{x} \\ \cos{y} \\ \cos{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \end{matrix}Pensando nas regras de Cramer,\begin{matrix} \det{(M)} =\begin{vmatrix}0 & c & b \\ c &0& a \\ b&a&0 \end{vmatrix} = 2abc \end{matrix}Com isso,\begin{matrix} \det{(X)} = \begin{vmatrix}a & c & b \\ b &0& a \\ c&a&0 \end{vmatrix} = b^2a + c^2a - a^3 \end{matrix}Então,\begin{matrix} \cos{x} = \dfrac{\det{(X)}}{\det{(M)}} = \dfrac{b^2a + c^2a - a^3}{2abc} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = 0 \end{matrix}Substituindo nosso resultado acima na segunda e terceira linha do sistema, constatamos, respectivamente:\begin{matrix} \cos{z} = \dfrac{b}{a} &,& \cos{y} = \dfrac{c}{a} \end{matrix}Com isso,\begin{matrix} \cos{x} + \cos{y} + \cos{z} = \dfrac{b+c}{a} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix} $• \ \text{Solução Paralela:}$ Veja que a resolução acima é um pouco "bruta", pois ela é particularmente prolixa no intuito de apenas chegar numa resposta. Nesse contexto, observando a expressão; $a^2 = b^2 + c^2$ , é intuitivo pensar em Pitágoras, e claro, num triângulo retângulo. Analogamente, ao observar a primeira linha do sistema, esta remete novamente a Pitágoras, como forçosamente poderíamos perfazê-la até a expressão do enunciado? Creio que, assim: \begin{matrix} c \cdot \dfrac{c}{a} + b \cdot \dfrac{b}{a} = a &\Rightarrow& a^2 = b^2 + c^2 \end{matrix}Ora, então temos uma solução e descobrimos $ \cos{z}$ e $ \cos{y}$, assim como $ \cos{x}$, em que $x$ necessariamente precisa ser um ângulo reto. Por via de dúvidas, é interessante inspecionar o nosso resultado para $\cos{x}$, o que não é difícil, e, rapidamente, atesta-se.