Três pessoas , e , chegam no mesmo dia a uma cidade onde há cinco hotéis e . Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são correta(s)?
I- Existe um total de combinações
II- Existe um total de combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente
III- Existe um total de combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
Perceba que para cada pessoa existem $5$ hotéis disponíveis, logo podemos dizer que:
\begin{matrix} A \rightarrow 5 \ possibilidades \\ B \rightarrow 5 \ possibilidades \\ C \rightarrow 5 \ possibilidades
\end{matrix}
Pelo princípio fundamental da contagem, temos: $5.5.5 = 125$ formas de alojar as três pessoas.
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Ao colocarmos uma pessoa em determinado hotel, a próxima terá $4$ possibilidades de escolher, pois ela não pode ir no hotel que a pessoa anterior foi. Já para a terceira pessoa, existem $3$ possibilidades de escolher, pois elanão pode ir no hotel que a primeira foi, nem no mesmo que a segunda. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, temos:
\begin{matrix} 5.4.3 = 60 \ formas \ possíveis \ de \ distribuir
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Precisamos escolher duas das três pessoas que temos disponíveis para frequentar o mesmo hotel, então podemos fazer isso de $C_{3}^{2}$ formas. Note que, para as duas pessoas que escolhemos, elas possuem $5$ possibilidades de escolher um hotel, já o próximo, aquele que sobrou, terá apenas $4$ possibilidades, visto que ele não pode estar no mesmo hotel que os outros dois foram. Dessa forma, pelo princípio fundamental da contagem, temos:
\begin{matrix} C_{3}^{2}.5.4 = 60 \ formas \ possíveis \ de \ distribuir
\end{matrix}
$\color{orangered}{Adendo:}$ O termo "combinações" nas afirmativas é impróprio, pois pode acabar havendo confusão acerca do comando, infelizmente.