Três pessoas $A$, $B$ e $C$, chegam no mesmo dia a uma cidade onde há cinco hotéis $H_1, H_2, H_3, H_4$ e $H_5$. Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são correta(s)?

  • I- Existe um total de $120$ combinações

  • II- Existe um total de $60$ combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente

  • III- Existe um total de $60$ combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel


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ITA IIIT 19/11/2021 17:33
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Perceba que para cada pessoa existem $5$ hotéis disponíveis, logo podemos dizer que: \begin{matrix} A \rightarrow 5 \ possibilidades \\ B \rightarrow 5 \ possibilidades \\ C \rightarrow 5 \ possibilidades \end{matrix} Pelo princípio fundamental da contagem, temos: $5.5.5 = 125$ formas de alojar as três pessoas. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Ao colocarmos uma pessoa em determinado hotel, a próxima terá $4$ possibilidades de escolher, pois ela não pode ir no hotel que a pessoa anterior foi. Já para a terceira pessoa, existem $3$ possibilidades de escolher, pois elanão pode ir no hotel que a primeira foi, nem no mesmo que a segunda. Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, temos: \begin{matrix} 5.4.3 = 60 \ formas \ possíveis \ de \ distribuir \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Precisamos escolher duas das três pessoas que temos disponíveis para frequentar o mesmo hotel, então podemos fazer isso de $C_{3}^{2}$ formas. Note que, para as duas pessoas que escolhemos, elas possuem $5$ possibilidades de escolher um hotel, já o próximo, aquele que sobrou, terá apenas $4$ possibilidades, visto que ele não pode estar no mesmo hotel que os outros dois foram. Dessa forma, pelo princípio fundamental da contagem, temos: \begin{matrix} C_{3}^{2}.5.4 = 60 \ formas \ possíveis \ de \ distribuir \end{matrix} $\color{orangered}{Adendo:}$ O termo "combinações" nas afirmativas é impróprio, pois pode acabar havendo confusão acerca do comando, infelizmente.
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