Dadas as afirmações:

I-$$\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=2^{n},\ n \in N$$

II- $$\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right) ,\ n \in N, k=1,2,3 \cdots, n$$

III- Existem mais possibilidades de escolher $44$ números diferentes entre os números inteiros de $1$ a $50$ do que escolher $6$ números diferentes entre os números inteiros de $1$ a $50$.

Conclui-se que:


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ITA IIIT 19/11/2021 13:59
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Basicamente, a afirmativa cobra o conhecimento sobre o $Teorema \ das \ Linhas$, uma justificativa seria: Seja ${n \choose k}$ o número de subconjuntos com $k$ elementos de um conjunto $X = \big\{ 1,2,...,n \big\}$. Segue que; ${n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n}$ é o número total de subconjuntos de $X$. Todavia, perceba que para formar um subconjunto devemos olhar para cada elemento e enxergar que existem duas possibilidades: $Escolher$ ou $Não \ Escolher$. Dessa forma, o número total de subconjuntos que podemos formar segue como; $2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ ... \ \cdot \ 2 = 2^n$. Assim, temos que: \begin{matrix}{n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n} = 2^n \end{matrix} Outra forma interessante de justificar, seria por indução, vejamos: Supondo verdadeira a relação: ${n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n}= 2^n$ Vamos provar que para $n+1$ segue $2^{n+1}$, o que significa que: ${n+1 \choose 0} +{n+1 \choose 1} + ... +{n+1 \choose n+1}= 2^{n+1}$ Com o conhecimendo da relação de Stifel: ${n \choose k} +{n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}$, temos: \begin{matrix} {n+1 \choose 0} = {n \choose 0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ {n+1 \choose 1} = {n \choose 0} + {n \choose 1} \ \ \ \ \ \\ \vdots \\ {n+1 \choose n} = {n \choose n-1} + {n \choose n} \\ {n+1 \choose n+1} = {n \choose n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \begin{matrix} {n+1 \choose 0} +{n+1 \choose 1} + ... +{n+1 \choose n+1} = 2.[{n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n}] \\ \\ {n+1 \choose 0} +{n+1 \choose 1} + ... +{n+1 \choose n+1} = 2.2^n = 2^{n+1} \end{matrix} Assim, provamos por indução. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ A afirmativa cobra o conhecimento da $Relação \ das \ Combinações \ Complementares:$ ${n \choose k} = {n \choose n- k}$ Entretanto, é fácil perceber que: $ {n \choose n- k} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!} = \frac{n!}{(n-k)!(k)!} = {n \choose k} $ $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ É simplesmente uma aplicação da afirmativa anterior, perceba que: ${50 \choose 44} = {50 \choose 50- 44} = {50 \choose 6} $ \begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}
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