Dadas as afirmações:
I-$$\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=2^{n},\ n \in N$$
II- $$\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right) ,\ n \in N, k=1,2,3 \cdots, n$$
III- Existem mais possibilidades de escolher $44$ números diferentes entre os números inteiros de $1$ a $50$ do que escolher $6$ números diferentes entre os números inteiros de $1$ a $50$.
Conclui-se que:
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Basicamente, a afirmativa cobra o conhecimento sobre o $Teorema \ das \ Linhas$, uma justificativa seria:
Seja ${n \choose k}$ o número de subconjuntos com $k$ elementos de um conjunto $X = \big\{ 1,2,...,n \big\}$. Segue que; ${n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n}$ é o número total de subconjuntos de $X$. Todavia, perceba que para formar um subconjunto devemos olhar para cada elemento e enxergar que existem duas possibilidades: $Escolher$ ou $Não \ Escolher$. Dessa forma, o número total de subconjuntos que podemos formar segue como; $2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ ... \ \cdot \ 2 = 2^n$. Assim, temos que:
\begin{matrix}{n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n} = 2^n
\end{matrix}
Outra forma interessante de justificar, seria por indução, vejamos:
Supondo verdadeira a relação: ${n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n}= 2^n$
Vamos provar que para $n+1$ segue $2^{n+1}$, o que significa que: ${n+1 \choose 0} +{n+1 \choose 1} + ... +{n+1 \choose n+1}= 2^{n+1}$
Com o conhecimendo da relação de Stifel: ${n \choose k} +{n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}$, temos:
\begin{matrix} {n+1 \choose 0} = {n \choose 0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ {n+1 \choose 1} = {n \choose 0} + {n \choose 1} \ \ \ \ \ \\ \vdots \\ {n+1 \choose n} = {n \choose n-1} + {n \choose n} \\ {n+1 \choose n+1} = {n \choose n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{matrix}
\begin{matrix} {n+1 \choose 0} +{n+1 \choose 1} + ... +{n+1 \choose n+1} = 2.[{n \choose 0} +{n \choose 1} + ... +{n \choose n}] \\ \\ {n+1 \choose 0} +{n+1 \choose 1} + ... +{n+1 \choose n+1} = 2.2^n = 2^{n+1}
\end{matrix}
Assim, provamos por indução.
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
A afirmativa cobra o conhecimento da $Relação \ das \ Combinações \ Complementares:$ ${n \choose k} = {n \choose n- k}$
Entretanto, é fácil perceber que: $ {n \choose n- k} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!} = \frac{n!}{(n-k)!(k)!} = {n \choose k} $
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
É simplesmente uma aplicação da afirmativa anterior, perceba que: ${50 \choose 44} = {50 \choose 50- 44} = {50 \choose 6} $
\begin{matrix}Letra \ (B)
\end{matrix}
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