O comprimento da diagonal de um pentágono regular de lado medindo $1$ unidade é igual à raiz positiva de:


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ITA IIIT 25/01/2022 23:18
$-$ A priori, é importante saber que todo polígono regular é inscritível, assim, temos: $• \ \text{Resolução I:}$ $-$ Veja que, a imagem da questão já faz uma boa parte do trabalho, se você conhece o $\text{Teorema de Ptolomeu}$, não restam dúvidas ao olhar o quadrilátero $ACDE$, denotemos por $x$ a nossa diagonal: \begin{matrix} x.x = x.1 + 1.1 &\Rightarrow& \fbox{$x^2 - x - 1 = 0$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $-$ Outra forma de resolver seria por semelhança de triângulos, primeiro, denotemos de $F$ o ponto de intersecção das diagonais na imagem, assim, atente aos triângulos isósceles $CDE$ , $DEF$ e $CDF$. Dessa forma, façamos a semelhança baseada nos triângulos $CDE$ e $DEF$: \begin{matrix} \Large{ \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{DE}}} \\ \\ \color{gray}{\text{Como CDF é isósceles, $\overline{CF} = \overline{CD} = 1 $ , assim, $\overline{EF} = 1-x$}} \\ \\ \Large{ \frac{1}{1-x} = \frac{x}{1} } \\ \\ \fbox{$x^2 - x - 1 = 0$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução III:}$ $-$ Uma resolução pouco efetiva, mas que também é uma saída, seria conhecer um dos ângulos de $18º$, $36º$, $72º$ ou $108º$, isto é, saber seu seno ou cosseno. Dessa forma, com conhecimento do ângulo interno do pentágono regular $(108º)$, poderíamos apenas aplicar uma lei dos cossenos no triângulo $CDE$: • Encontrando o ângulo interno do pentágono regular pelo ângulo externo \begin{matrix} n.\hat{e} = 360º \ , \ n = 5 \ \text{(um pentágono)} \\ \\ \hat{e} = 72º \\ \color{gray}{\text{Dessa forma, o ângulo externo é $108º$}} \end{matrix} • Aplicando a $\text{Lei dos Cossenos}$ no triângulo $CDE$ \begin{matrix} d^2 = 1^2 + 1^2 - 2.1.1.\cos{108º} \\ \\ \color{gray}{\fbox{$\cos{108^{\circ}} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$}} \\ \\ \large{ \fbox{$d = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$}} \end{matrix} $-$ Agora, você teria de resolver as equações de segundo grau até encontrar a resposta: \begin{matrix} \fbox{$x^2 - x - 1 = 0$} \\ \\ Letra \ (E) \end{matrix}
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Diego Admin
02:49 26/01/2022
Excelente a sacada do ptolomeu
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