Sejam $A$ e $B$ matrizes reais $3\times3$. Se $\text{tr}(A)$ denota a soma dos elementos da diagonal principal de $A$, considere as afirmações:

  • I- $\text{tr}(A^t) = \text{tr}(A)$

  • II- Se $A$ é inversível, então $\text{tr}(A) \neq 0$.

  • III- $\text{tr}(A + \lambda B) = \text{tr}(A) + \lambda \text{tr}(B)$, para todo $\lambda \in R$.

Temos que:


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ITA IIIT 20/02/2022 17:46
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Ao transpor uma matriz a diagonal principal (traço) se mantém a mesma(o), se quiser, escreva uma matriz genérica e analise o traço da transposta, verá que é o verdade. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Uma matriz inversível é aquela que possui determinante diferente de zero, dessa forma, o traço de uma matriz genérica não é suficiente para estatuir seu determinante, e vice versa. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Não é algo muito difícil de se imaginar, mas podemos representar a situação como: \begin{matrix} \begin{bmatrix} a && ? && ? \\ ? && b && ? \\ ? && ? && c \end{bmatrix} &+& \begin{bmatrix} \lambda d && ? && ? \\ ? && \lambda e && ? \\ ? && ? && \lambda f \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a+ \lambda d && 2? && 2? \\ 2 ? && b+ \lambda e && 2? \\ 2 ? && 2? && c + \lambda f \end{bmatrix} \\ \\ tr(A) = a+b+c && \lambda . tr(B) = \lambda.(d+e+f) && tr(A + \lambda B) = \lambda.(d+e+f) + (a+b+c) \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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