Seja a função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por: $$f(x) = \begin{cases} a(x + \pi/2) & \text{ se }, x < \pi/2\\ (\pi/2) - (a/x)\sin x & \text{ se }, x \geq \pi/2 \end{cases}$$onde $a > 0$ é uma constante. Considere $K = \{ y \in \mathbb{R}\ ;\ f(y) =0\}$. Qual o valor de $a$, sabendo-se que $f(\pi/2) \in K$?


img
ITA IIIT 28/04/2022 22:54
$-$ A priori, segundo enunciado, sabemos que: \begin{matrix} f( \ f(\pi/2) \ ) &=& 0 \end{matrix}Analisando agora $f(\pi/2)$ pela lei da função, \begin{matrix} f(\pi/2) &=& {\large{\frac{\pi}{2}}} - {\large{\frac{2a}{\pi}}} &<& {\large{\frac{\pi}{2}}} \end{matrix}Assim, \begin{matrix} f({\large{\frac{\pi}{2}}} - {\large{\frac{2a}{\pi}}}) &=& a({\large{\frac{\pi}{2}}} - {\large{\frac{2a}{\pi}}} + {\large{\frac{\pi}{2}}} ) &=& 0 &\therefore& \fbox{$a = \large{\frac{\pi^2}{2}}$} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000