Dizemos que duas matrizes $n\times n$ $A$ e $B$ são semelhantes se existe uma matriz $n\times n$ inversível $P$ tal que $B = P^{-1}AP$. Se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes quaisquer, então:
$• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
\begin{matrix} det(B) = det(P^{-1}) \ . \ det(A) \ . \ det(P) &\Rightarrow& det(B) = det(A)
\end{matrix}
Veja que, não temos informações (restrições) o suficiente para dizer que $B$ é sempre inversível.
$• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
$A$ ser simétrica implica: $A^t = A$, então, vejamos:
\begin{matrix} B^t = (P^{-1}AP)^t = (P^{-1})^t P^t A^t &\Rightarrow& B^t = A^t = A \ne B
\end{matrix}
$• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
\begin{matrix} B^2 &=& B B &=& B P^{-1} A P &=& P^{-1} A P P^{-1} A P &=& P^{-1} A^2P
\end{matrix}
Note que, $B^2$ só seria semelhante a $A$, se $A$ fosse idempotente, isto é, $A^2 =A$.
$• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
Segundo enunciado, $C$ deverá ser na forma $C = X^{-1}AX$, só com isso já poderíamos dizer que a alternativa é incorreta, mas faça o processo da alternativa anterior e veja que nada (suficiente) implica $BC$ ser semelhante a $A^2$. Por outro lado, $BC$ seria semelhante a $A^2$ se $C=B$.
$• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{royalblue}{\text{Correta}}$
\begin{matrix} \lambda I - B &=& \underbrace{\lambda (P^{-1}P) - P^{-1}AP}_{(1)} &=& P^{-1}(\lambda P - AP) &=& \underbrace{ P^{-1}(\lambda IP - AP ) }_{(2)} &=& P^{-1}(\lambda I - A )P
\end{matrix}
$(1):$ Lembre-se que a multiplicação em escalar é uma propriedade comutativa
$(2):$ $PI= IP = P$
Continuando,
\begin{matrix} det( \lambda I - B) &=& det[P^{-1}(\lambda I - A )P ] \\ \\ det( \lambda I - B) &=&
det(P^{-1}) \ . \ det(\lambda I - A) \ . \ det(P)
\end{matrix}
\begin{matrix} det( \lambda I - B) &=& det(\lambda I - A)
\end{matrix}
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