Dizemos que duas matrizes $n\times n$ $A$ e $B$ são semelhantes se existe uma matriz $n\times n$ inversível $P$ tal que $B = P^{-1}AP$. Se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes quaisquer, então:


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ITA IIIT 20/02/2022 16:56
$• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} {det(\text{B}) = \ det(\pu{P^{-1}}) \cdot det(\pu{A}) \cdot det(\pu{P})} &\Rightarrow& det(\pu{B}) = det(\pu{A}) \end{matrix} Veja que, não temos informações (restrições) o suficiente para dizer que $B$ é sempre inversível. $• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ $A$ ser simétrica implica: $A^t = A$, então, vejamos:\begin{matrix} \pu{(B)^t=[P^{−1}(AP)]^t=(AP)^t(P−1)^t=P^tA^t(P^{−1})^t} &\therefore& \pu{B \ne B^t} \end{matrix} $• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} \pu{B^2} &=& \pu{BB} &=& \pu{BP^{-1}AP} &=& \pu{P^{-1}APP^{-1}AP} &=& \pu{P^{-1}A^2P} \end{matrix} Note que, $B^2$ só seria semelhante a $A$, se $A$ fosse idempotente, isto é, $A^2 =A$. $• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Segundo enunciado, $C$ deverá ser na forma $C = X^{-1}AX$, só com isso já poderíamos dizer que a alternativa é incorreta, mas faça o processo da alternativa anterior e veja que nada (suficiente) implica $BC$ ser semelhante a $A^2$. Por outro lado, $BC$ seria semelhante a $A^2$ se $C=B$. $• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{royalblue}{\text{Correta}}$ \begin{matrix} \pu{ \lambda I - B} &=& \underbrace{\pu{\lambda (P^{-1}P) - P^{-1}AP}}_{(1)} &=& \pu{P^{-1}(\lambda P - AP)} &=& \underbrace{ \pu{P^{-1}(\lambda IP - AP)} }_{(2)} &=& \pu{P^{-1}(\lambda I - A)P} \end{matrix}$(1):$ Lembre-se que a multiplicação em escalar é uma propriedade comutativa $(2):$ $\pu{PI= IP = P}$ Continuando,\begin{matrix} det( \lambda I - B) &=& det[P^{-1}(\lambda I - A )P ] \\ \\ det( \lambda I - B) &=& det(P^{-1}) \cdot det(\lambda I - A) \cdot det(P) \\ \\ det( \lambda I - B) &=& det(\lambda I - A) \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}
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