Dizemos que duas matrizes $n\times n$ $A$ e $B$ são semelhantes se existe uma matriz $n\times n$ inversível $P$ tal que $B = P^{-1}AP$. Se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes quaisquer, então:


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ITA IIIT 20/02/2022 16:56
$• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} det(B) = det(P^{-1}) \ . \ det(A) \ . \ det(P) &\Rightarrow& det(B) = det(A) \end{matrix} Veja que, não temos informações (restrições) o suficiente para dizer que $B$ é sempre inversível. $• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ $A$ ser simétrica implica: $A^t = A$, então, vejamos: \begin{matrix} B^t = (P^{-1}AP)^t = (P^{-1})^t P^t A^t &\Rightarrow& B^t = A^t = A \ne B \end{matrix} $• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} B^2 &=& B B &=& B P^{-1} A P &=& P^{-1} A P P^{-1} A P &=& P^{-1} A^2P \end{matrix} Note que, $B^2$ só seria semelhante a $A$, se $A$ fosse idempotente, isto é, $A^2 =A$. $• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Segundo enunciado, $C$ deverá ser na forma $C = X^{-1}AX$, só com isso já poderíamos dizer que a alternativa é incorreta, mas faça o processo da alternativa anterior e veja que nada (suficiente) implica $BC$ ser semelhante a $A^2$. Por outro lado, $BC$ seria semelhante a $A^2$ se $C=B$. $• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{royalblue}{\text{Correta}}$ \begin{matrix} \lambda I - B &=& \underbrace{\lambda (P^{-1}P) - P^{-1}AP}_{(1)} &=& P^{-1}(\lambda P - AP) &=& \underbrace{ P^{-1}(\lambda IP - AP ) }_{(2)} &=& P^{-1}(\lambda I - A )P \end{matrix} $(1):$ Lembre-se que a multiplicação em escalar é uma propriedade comutativa $(2):$ $PI= IP = P$ Continuando, \begin{matrix} det( \lambda I - B) &=& det[P^{-1}(\lambda I - A )P ] \\ \\ det( \lambda I - B) &=& det(P^{-1}) \ . \ det(\lambda I - A) \ . \ det(P) \end{matrix} \begin{matrix} det( \lambda I - B) &=& det(\lambda I - A) \end{matrix}
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