Seja $A$ uma matriz real quadrada de ordem $n$ e $B = I - A$, onde $I$ denota a matriz identidade de ordem $n$, supondo que $A$ é inversível e idempotente (isto é, $A^2 = A$) considere as afirmações:

  1. $B$ é idempotente.

  2. $AB = BA$

  3. $B$ é inversível.

  4. $A^2+ B^2 = I $

  5. $AB$ é simétrica.

Com respeito a estas afirmações temos:


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ITA IIIT 20/02/2022 15:52
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} A \ A = A &\Rightarrow& A \ A \ A^{-1} = A \ A^{-1} &\Rightarrow& A \ I = I &\Rightarrow& \fbox{$A = I$} \end{matrix} Dessa forma, segundo a equação matricial do enunciado, sabemos que a matriz $B$ é nula, e como matriz nula, ela obviamente é idempotente. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} AB = AI - A^2 &,& BA = IA - A^2 \\ \\ AB &=& BA \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Só de saber que $B$ é nula, já seria condição suficiente para se inferir que a afirmativa é correta. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ A condição suficiente para uma matriz ser inversível é ela possuir determinante diferente de zero, mas como $B$ é uma matriz nula, claramente ela possui determinante igual a zero. Além disso, em outra perspectiva, sabemos pela afirmativa anterior que $AB=BA =0$, e com conhecimento que $A$ é inversível (vide enunciado), com $det(A)=1$ (tente provar), novamente, encontramos o mesmo resultado $det(B) = 0$. $• \ \text{Afirmativa IV:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} A^2 = A = I &,& B^n = B = 0 &\Rightarrow& A^2 + B^2 = I \end{matrix} Noutra ótica: \begin{matrix} A^2 + B^2 = A + (B - AB) = A + B = I \\ \\ \color{gray}{B = I -A \ \ \ , \ \ \ AB = 0} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa V:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Uma matriz é simétrica quando respeita a seguinte propriedade: $X^t = X$ , visto que, $AB$ é uma matriz nula, não há dúvidas que seja verdade. Por outro lado, supondo não sabermos que $AB$ é nula, temos: \begin{matrix} AB = A - A^2 = 0 &\Rightarrow& (AB)^t = A^t - (A^2)^t = 0 \\ \\ (AB)^t &=&AB \end{matrix}
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