Um triângulo equilátero é tal que $A: (0, 3)$, $B: (3 \sqrt{3} ,0)$ e a abcissa do ponto $C$ é maior que $2$. A circunferência circunscrita a este triângulo tem raio $r$ e centro em $O: (a, b)$. Então $a^2+ b^2+ r^2$ é igual a:


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ITA IIIT 24/01/2022 16:15
A priori, não é difícil perceber que a distância $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = L$, pois o triângulo é equilátero, assim, calculando a distância entre dois pontos, e denotando $C: (x \ , \ y)$: \begin{matrix} d_{AC}^2 = d_{AC}^2 &\Rightarrow& (x-0)^2 + (y -3)^2 = (x - 3\sqrt{3})^2 + (y -0)^2 &\Rightarrow& \fbox{$ y = \sqrt{3}x - 3 $} \ \ (1) \end{matrix}Descobrindo o valor de $L$ \begin{matrix} d_{AB}^2 = L^2 \ \Rightarrow \ (0-3\sqrt{3})^2 + (3 -0)^2 =L^2 &\Rightarrow& \fbox{$ L = 6 $} \end{matrix}• $d_{AC}^2 = L^2$: \begin{matrix} (x-0)^2 + (y -3)^2 = 6^2 &\Rightarrow& x^2 + y^2 -6y - 27 = 0 \end{matrix} Substituindo $(1)$, \begin{matrix} x.(4x - 12\sqrt{3}) = 0 &\Rightarrow& \fbox{$x_1 = 0 \ \ , \ \ x_2 = 3\sqrt{3}$} \end{matrix} Veja que, $x_1$ não satisfaz a condição do enunciado $\text{"e a abcissa do ponto C é maior que 2"}$, portanto, temos apenas $x_2$ como resposta. Substituindo $x_2$ na nossa equação $(1)$ podemos encontrar: \begin{matrix} \fbox{$y =6$} &\Rightarrow& \fbox{$C: (3\sqrt{3} \ , \ 6)$} \end{matrix}Com conhecimento que o circuncentro de um triângulo equilátero coincide com o seu baricentro, temos: \begin{matrix} O_x = \dfrac{A_x + B_x +C_x }{3} = \dfrac{0 \ + \ 3\sqrt{3} \ + \ 3\sqrt{3}}{3} =2\sqrt{3} &\Rightarrow& \fbox{$a =2\sqrt{3} $} \\ \\ O_y = \dfrac{A_y + B_y +C_y }{3} = \dfrac{3 \ + \ 0 \ + \ 6}{3} = 3 &\Rightarrow& \fbox{$b =3 $} \end{matrix}Aplicando a lei dos senos para encontrar o raio $(r)$ da circunferência \begin{matrix} {\dfrac{L}{\sin{60}} = 2r} &\Rightarrow& \fbox{$r = 2\sqrt{3}$} \end{matrix}Por fim\begin{matrix} a^2 + b^2 + r^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 + (2\sqrt{3})^2 \\ \\ \fbox{$a^2 + b^2 + r^2 = 33 $} \\ \\ Letra \ (C)\end{matrix}
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