O sistema indicado abaixo, nas incógnitas $x$, $y$ e $z$, $$\begin{cases} 3^ax - 9^a y + 3z = 2^a\\ 3^{a+1}x - 5 y + 9z = 2^{a+1}\\ x+3^{a-1}y+3^{a+1}z = 1\end{cases}$$É possível e determinado quando o número a é diferente de:
Com conhecimento das "Regras de Cramer", das "Propriedades Básicas dos Determinantes" e das "Propriedades dos Logaritmos", vejamos:
Segundo Cramer, para um sistema ser possível e determinado, seu $\det$ precisa ser $\ne$ $0$.
• Encontrando o determinante do sistema:
\begin{vmatrix}
1 & -3^{a-1} & 3^{a+1} \\
3^a & -3^{2a} & 3 \\
3^{a+1} & 5 & 3^2 \\
\end{vmatrix}
$\color{orangered}{Obs:}$ Apenas apliquei a "Troca de Fila" e multipliquei a fileira do meio por $-1$, conservando o sinal do determinante. Veja que, agora é com você, pode-se resolver por Laplace, Chió, ou até mesmo Sarrus. Eu, particularmente, recomendo Chió.
• Ao resolver o determinante, chegaremos em algo como:
\begin{matrix} \det = 3.( 3^{2a+1} - 3^{4a+1} - 5 + 5.3^{2a})
\end{matrix}
Note que apenas o que está dentro dos parênteses nos interessa.
• Seja $3^{2a} = Z$:
\begin{matrix} 3.Z^2 - 8Z + 5 \ne 0 \\
Z_1 \ne 1 \ \ \ \ e \ \ \ \ Z_2 \ne \frac{5}{3} \\
\end{matrix}
Logo:
\begin{matrix}
3^{2a} \ne 1 \ \ \ \ \ e \ \ \ \ 3^{2a} \ne \frac{5}{3} \\
a \ne \log_3{1} \ \ \ \ \\ e \ \ \ \ \\ a \ne \frac{1}{2}.\log_3{\frac{5}{3}} = \frac{1}{2}. (\log_3{5} -1) \\ a \ne \frac{1}{2}. (\log_3{5} -1) \\ \\
\color{gray}{Apenas \ apliquei \ as \ propriedades \ do \ logartimo} \\ \\
Letra \ (E)
\end{matrix}