O sistema indicado abaixo, nas incógnitas , e , É possível e determinado quando o número a é diferente de:
Com conhecimento das "Regras de Cramer", das "Propriedades Básicas dos Determinantes" e das "Propriedades dos Logaritmos", vejamos:
Segundo Cramer, para um sistema ser possível e determinado, seu $\det$ precisa ser $\ne$ $0$.
• Encontrando o determinante do sistema: \begin{matrix} M =
\begin{vmatrix}
1 & -3^{a-1} & 3^{a+1} \\
3^a & -3^{2a} & 3 \\
3^{a+1} & 5 & 3^2 \\
\end{vmatrix}\end{matrix}
$\color{orangered}{Obs:}$ Apenas apliquei a "Troca de Fila" e multipliquei a fileira do meio por $-1$, conservando o sinal do determinante. Veja que, agora é com você, pode-se resolver por Laplace, Chió, ou até mesmo Sarrus. Eu, particularmente, recomendo Chió.
• Ao resolver o determinante, chegaremos em algo como:
\begin{matrix} \det{(M)} = 3\cdot ( 3^{2a+1} - 3^{4a+1} - 5 + 5\cdot 3^{2a})
\end{matrix}Note que apenas o que está dentro dos parênteses nos interessa.
• Seja $3^{2a} = Z$: \begin{matrix} 3Z^2 - 8Z + 5 \ne 0 &\Rightarrow&
Z_1 \ne 1&\wedge& Z_2 \ne \dfrac{5}{3} \\
\end{matrix}Logo, \begin{matrix}
3^{2a} \ne 1 &\wedge& 3^{2a} \ne \dfrac{5}{3} \end{matrix}Então, \begin{matrix}
a \ne \log_3{1}&\wedge& a \ne \dfrac{1}{2}\cdot \log_3{\left(\dfrac{5}{3}\right)} = \dfrac{1}{2}. (\log_3{5} -1)
\end{matrix} \begin{matrix}Letra \ (E)
\end{matrix}