O sistema indicado abaixo, nas incógnitas $x$, $y$ e $z$, $$\begin{cases} 3^ax - 9^a y + 3z = 2^a\\ 3^{a+1}x - 5 y + 9z = 2^{a+1}\\ x+3^{a-1}y+3^{a+1}z = 1\end{cases}$$É possível e determinado quando o número a é diferente de:


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ITA IIIT 22/10/2021 23:20
Com conhecimento das "Regras de Cramer", das "Propriedades Básicas dos Determinantes" e das "Propriedades dos Logaritmos", vejamos: Segundo Cramer, para um sistema ser possível e determinado, seu $\det$ precisa ser $\ne$ $0$. • Encontrando o determinante do sistema: \begin{matrix} M = \begin{vmatrix} 1 & -3^{a-1} & 3^{a+1} \\ 3^a & -3^{2a} & 3 \\ 3^{a+1} & 5 & 3^2 \\ \end{vmatrix}\end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Apenas apliquei a "Troca de Fila" e multipliquei a fileira do meio por $-1$, conservando o sinal do determinante. Veja que, agora é com você, pode-se resolver por Laplace, Chió, ou até mesmo Sarrus. Eu, particularmente, recomendo Chió. • Ao resolver o determinante, chegaremos em algo como: \begin{matrix} \det{(M)} = 3\cdot ( 3^{2a+1} - 3^{4a+1} - 5 + 5\cdot 3^{2a}) \end{matrix}Note que apenas o que está dentro dos parênteses nos interessa. • Seja $3^{2a} = Z$: \begin{matrix} 3Z^2 - 8Z + 5 \ne 0 &\Rightarrow& Z_1 \ne 1&\wedge& Z_2 \ne \dfrac{5}{3} \\ \end{matrix}Logo, \begin{matrix} 3^{2a} \ne 1 &\wedge& 3^{2a} \ne \dfrac{5}{3} \end{matrix}Então, \begin{matrix} a \ne \log_3{1}&\wedge& a \ne \dfrac{1}{2}\cdot \log_3{\left(\dfrac{5}{3}\right)} = \dfrac{1}{2}. (\log_3{5} -1) \end{matrix} \begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}
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