Sejam $a$, $b$ e $c$ as medidas dos lados de um triângulo e $A$, $B$ e $C$ os ângulos internos opostos, respectivamente, a cada um destes lados. Sabe-se que $a$, $ b$, $c$, nesta ordem, formam uma progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo mede $15\ cm$ e $$\frac{\cos A}{a}+ \frac{\cos B}{b}+ \frac{\cos C}{c} = \frac{77}{240}$$ Então sua área, em $cm^2$ , mede:
Progressão dos lados: \begin{matrix} a+ b+ c = 15 & \Rightarrow & (b-r) + b + (b+r) = 15
\end{matrix}\begin{matrix} \fbox{$b = 5$}
\end{matrix}Pela lei dos cossenos, pode-se escrever: \begin{matrix} x^2 = y^2 + z^2 - 2yz\cos{\theta} &\Rightarrow& \cos{\theta} = { \dfrac{y^2 + z^2 - x^2 }{ 2.y.z} }
\end{matrix}Assim, dada a expressão do enunciado, \begin{matrix} { \dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{ 2abc} } &+& {\dfrac{a^2 + c^2 - b^2 }{ 2abc}} &+& {\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{ 2abc}} &=& { \dfrac{77}{240} }
\end{matrix}\begin{matrix} { \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc} } &=& { \dfrac{77}{240} } &\Rightarrow&
{ \dfrac{ (5-r)^2 + 5^2 + (5+r)^2}{2(5-r)\cdot 5\cdot (5+r)} } &=& { \dfrac{77}{240} }
\end{matrix}\begin{matrix} { \dfrac{3\cdot 5^2 + 2 \cdot r^2}{5^2-r^2} } &=& { \dfrac{77}{24} } &\Rightarrow& 72\cdot 5^2 + 48r^2 = 77\cdot 5^2 - 77\cdot r^2
\end{matrix}\begin{matrix} { \fbox {$r = \pm 1$}}
\end{matrix}Não é difícil perceber que independente do sinal do raio (positivo ou negativo), a área será a mesma, pois os triângulos são congruentes $(\text{L.L.L})$, veja:
$ •$ $ r = -1$\begin{matrix} a = 6 &,& b = 5 &,& c = 4
\end{matrix}$ •$ $ r = 1$\begin{matrix} a = 4 &,& b = 5 &,& c = 6
\end{matrix}Se ainda lhe restam dúvidas acerca da independência do sinal sobre o valor da área, agora você irá saná-las, apliquemos a $\text{Fórmula de Heron}$: \begin{matrix} A = \sqrt{ \left(\dfrac{15}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{15}{2} - 4\right) \cdot \left(\dfrac{15}{2} - 5\right) \cdot \left(\dfrac{15}{2} - 6\right)
}&\therefore&
{\fbox{$A = \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$}}
\end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (A)
\end{matrix}
