Sejam $x$ e $y$ números reais, positivos e ambos diferentes de $1$, satisfazendo o sistema: $$\begin{cases} x^y = \dfrac{1}{y^2}\\ \log x + \log y = \log \dfrac{1}{\sqrt{x}} \end{cases}$$Então o conjunto $(x, y)$ está contidono intervalo:


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ITA IIIT 22/10/2021 20:56
A questão envolve basicamente as propriedades do logaritmo, vejamos: \begin{matrix} \log{x} + \log{y} =\log{x^{-1/2}} \\ \log{x.y} =\log{x^{-1/2}} \\ x.y = x^{-1/2} \\ x^{3} = \frac{1}{y^2} \ \ \color{yellow}{(1)} \end{matrix} • igualando (1) com a primeira expressão do enunciado: \begin{matrix} x^{3} = x^y \\ y = 3 \end{matrix} • Encontrando $x$ em (1): \begin{matrix} x^{3} = \frac{1}{3^2} \\ x = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} \approx 0,48 \end{matrix} • Então o conjunto (x,y) está contido no intervalo: $\color{red}{]0,4[}$ \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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