Sejam $x$ e $y$ números reais, positivos e ambos diferentes de $1$, satisfazendo o sistema: $$\begin{cases} x^y = \dfrac{1}{y^2}\\ \log x + \log y = \log \dfrac{1}{\sqrt{x}} \end{cases}$$Então o conjunto $(x, y)$ está contidono intervalo:


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ITA IIIT 22/10/2021 20:56
A questão envolve basicamente as propriedades do logaritmo, vejamos: \begin{matrix} \log{x} + \log{y} =\log{x^{-1/2}} &\Rightarrow& \log{xy} =\log{x^{-1/2}} &\Rightarrow& xy = x^{-1/2} &\therefore& x^{3} = \dfrac{1}{y^2} \ \ \color{#3368b8}{(1)} \end{matrix}Igualando $(1)$ com a primeira expressão do enunciado: \begin{matrix} x^{3} = x^y &\Rightarrow& y = 3 \end{matrix}Encontrando $x$ em $(1)$: \begin{matrix} x^{3} = \dfrac{1}{3^2} &\Rightarrow& x = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}} \approx 0,48 \end{matrix}Então o conjunto (x,y) está contido no intervalo: $\color{red}{]0,4[}$ \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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