Possuo $3$ vasos idênticos e desejo ornamentá-los com $18$ rosas, sendo $10$ vermelhas e $8$ amarelas. Desejo que um dos vasos tenha $7$ rosas e os outros dois no mínimo $5$. Cada um deverá ter $2$ rosas vermelhas e $1$ amarela, pelo menos. Quantos arranjos distintos poderei fazer usando as $18$ rosas?


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ITA IIIT 18/11/2021 22:08
A priori, iremos priorizar os fatos: $1º :$ Cada vaso precisa ter ao menos 2 rosas vermelhas e 1 amarela. $2º :$ Um vaso precisa ter exatamente 7 rosas. $3º :$ Os outros dois vasos precisam ter ao menos 5 rosas. Atente ao fato que os vasos são idênticos, então pouco importa qual será escolhido para abrigar as rosas. Primeiramente, iremos por 2 rosas vermelhas e 1 amarela em cada vaso, totalizando 6 rosas vermelhas e 3 amarelas. Dessa forma, restam 9 rosas, 4 delas vermelhas e 5 amarelas. Pode-se montar um pequeno sistema com $x_i \ ( \ i = 1, 2 \ e \ 3)$ $:= \text{Número de rosas vermelhas que o vaso $i$ irá receber.} $ Analogamente, teremos $y_i \ ( \ i = 1, 2 \ e \ 3)$ $:= \text{Número de rosas amarelas que o vaso $i$ irá receber}$. Vejamos: \begin{Bmatrix} x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\ y_1 + y_2 + y_3 = 5 \end{Bmatrix} Vamos definir que: \begin{Bmatrix} x_1 + y_1 = 4 \\ x_2 + y_2 = 3 \\ x_3 + y_3 = 2 \\ \end{Bmatrix} Perceba que, adotei o vaso formado por $x_1 \ e \ y_1$ como aquele que receberá exatamente 7 rosas. $\color{orangered}{Obs:}$ Não se esqueça que cada vaso já tem 3 rosas!! Podemos criar uma tabela com os resultados possíveis de cada vaso: \begin{matrix} x_1 & y_1 \ \ & \ \ x_2 & y_2 \ \ & \ \ x_3 & y_3 \\ 4 & 0 \ \ & \ \ 3 & 0 \ \ & \ \ 2 & 0 \\ 3 & 1 \ \ & \ \ 2 & 1 \ \ & \ \ 1 & 1 \\ 2 & 2 \ \ & \ \ 1 & 2 \ \ & \ \ 0 & 2 \\ 1 & 3 \ \ & \ \ 0 & 3 \ \ \\ 0 & 4 \ \ \\ \end{matrix} $\color{royalblue}{\text{Adendo:}}$ $x \le 4 \ \ , \ \ y \le 5$ Agora, basta você ver um a um, e descobrir que $\text{temos exatamente 11 arranjos de rosas distintos}$. \begin{matrix} Letra \ (B)\end{matrix}
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