Acerca da $\text{terceira lei de Kepler}$, sabemos que: ${a^3/p^2} = cte$ , visto que, pela $\text{primeira lei de Kleper}$, o semi-eixo maior da elipse é igual ao raio médio. Nesse contexto, admitindo a órbita circular, temos a força de interação gravitacional como resultante centrípeta, então:\begin{matrix} F_G = R_c &\Rightarrow& \dfrac{G \cdot M \cdot m}{a^2} = m \cdot \omega^2 \cdot a &|& \omega = \dfrac{2\pi}{p} &\therefore& \left(\dfrac{a^3}{p^2}\right) = \dfrac{GM}{4\pi^2} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}

Pela terceira lei de Kepler sabemos que $\dfrac{a^3}{p^2}$ é uma constante , como a excentricidade dos planetas são próximas de 0 , iremos considerar que o movimento dos planetas são órbitas circulares por simplificação de cálculos e boas aproximações. Como o movimento é circular , podemos afirmar que a força gravitacional $|\vec F_{G}|$ age como força centrípeta $ |\vec F_{R_{c}}|$ e que $ R = a$ $\therefore$ $ |\vec F_{G}| = |\vec F_{R_{c}}| = \dfrac{G \cdot M \cdot m}{R^2} = \dfrac{m(wR)^2}{R} \implies w^2R = \dfrac{GM}{R^2} \implies w^2R^3 = GM = w^2a^3 = GM $ $ w = \dfrac{2\pi}{p} \therefore w^2a^3 = (\dfrac{2\pi}{p})^2a^3 = \dfrac{4\pi^2a^3}{p^2} = GM \implies \boxed{\dfrac{a^3}{p^2} = \dfrac{GM}{4\pi^2}}$ $\textbf{Resposta : Letra E }$