Seja $A \in M_{3\times 3}$ tal que $\text{det} A = 0$. Considere as afirmações:

  • I- Existe $X \in M_{3\times1}$ não nula tal que $AX$ é identicamente nula.

  • II- Para todo $Y \in M_{3\times 1}$, existe $X \in M_{3\times1}$ tal que $AX = Y$.

  • III- Sabendo que $\mathrm{A}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]$ então a primeira linha da transposta de $A$ é $[5\ \ 1\ \ 2]$ .

Temos que:


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ITA IIIT 18/02/2022 23:09
A priori, é interessante que já se perceba a equivalência das equações matriciais com sistemas lineares, desse modo, analisemos cada afirmativa: $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Seja $AX = Y$, veja que se $Y$ for uma matriz nula, teremos um sistema homogêneo, assim, com conhecimento que todo sistema homogêneo possui uma solução trivial na forma $(0,0,...,0)$, podemos dizer que ele é sempre possível, mas não necessariamente determinado. No caso em questão, como o $det(A) = 0$, sabemos que esse sistema não pode ser determinado. Dessa forma, podemos dizer que existe $X$ tal que $AX$ é identicamente nula. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Vide a explicação anterior, sabemos que o sistema não pode ser determinado, mas mais que isso, deve-se perceber que dependendo do valor de $Y$ teremos absurdos, isto é, sistemas impossíveis, os quais $X$ não poderá satisfaze-los. Nesse contexto, um exemplo bem direto é quando a matriz $A$ foi nula, quer dizer, só haverá um $Y$ possível nesse caso, que é quando ele for nulo também, todos os demais valores de $Y$ formarão absurdos. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Escrevendo uma matriz genérica para $A$, temos: \begin{matrix} \begin{bmatrix} a&&b&&c \\ d&&e&&f \\ g&&h&&i \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{matrix} Visualizando isso num sistema: \begin{cases} 1.a &+& 0.b &+& 0.c &=& 5 \\ 1.d &+& 0.e &+& 0.f &=& 1 \\ 1.g &+& 0.h &+& 0.i &=& 2 \end{cases} Logo, \begin{matrix} a = 5 &,& d = 1 &,& g = 2 \end{matrix} Analisando a transposta de $A$, temos: \begin{bmatrix} a&&d&&g \\ b&&e&&h \\ c&&f&&i \end{bmatrix} Então a primeira linha da transposta é: \begin{matrix} [5,1,2] \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Claramente, você não precisava fazer todo esse processo para encontrar a resposta, bastava aplicar a transposta na equação matricial e ver ela sair direto, entretanto, essa saída acima pode ser mais fácil de se assimilar.\begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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