Considere as afirmações:
I- Uma elipse tem como focos os pontos , e o eixo maior 12. Sua equação é .
II- Os focos de uma hipérbole são , e sua excentricidade . Sua Equação é
III- A parábola tem como vértice o ponto .
Então:
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Conhecida as propriedades da elipse, sabemos que a distância do foco ao co-vértice é igual ao semi-eixo maior, além disso, sabida a equação fundamental da elipse, temos: \begin{matrix} \{ a = 6 \ , \ c = 2 \} &,& a^2 = b^2 + c^2 &\Rightarrow& b = \sqrt{32}
\end{matrix}Assim, a equação dessa elipse seria: \begin{matrix} {\dfrac{x^2}{6^2} + \dfrac{y^2}{(\sqrt{32})^2}} &=& 1
\end{matrix}
$\color{orange}{Adendo:}$ $a: $ semi-eixo maior, $c:$ distância do foco a origem, $b:$ semi-eixo menor
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
Com conhecimento da excentricidade e o foco podemos encontrar o semi-eixo real, logo:
\begin{matrix} e = {\dfrac{c}{a}} &\Rightarrow& a = \sqrt{2}
\end{matrix}Da relação fundamental da hipérbole, têm-se: \begin{matrix} c^2 = a^2 + b^2 &\Rightarrow& b = \sqrt{3}
\end{matrix}Por fim, a equação da hipérbole será: \begin{matrix} {\dfrac{x^2}{(\sqrt{2})^2} - \dfrac{y^2}{(\sqrt{3})^2}} &=& 1 &\therefore& 3x^2 - 2y^2 = 6
\end{matrix} $\color{orange}{Adendo:}$ $a: $ semi-eixo real, $c:$ distância do foco a origem, $b:$ semi-eixo imaginário
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
Trabalhando a expressão da parábola: \begin{matrix} 2y + \color{royalblue}{125} = x^2 -10 - 100 + \color{royalblue}{125} &\Rightarrow&
2\left(y + \dfrac{125}{2}\right) = (x - 5)^2
\end{matrix} Lembre-se que a equação da parábola é: $(x-x_v)^2 = 2p(y - y_v) $ , assim, o vértice é:
\begin{matrix} P: \left(5\ , - \dfrac{125}{2}\right)
\end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (C)
\end{matrix}