Considere as afirmações:

  • I- Uma elipse tem como focos os pontos $F_1: (-2, 0)$, $F_2: (2, 0)$ e o eixo maior 12. Sua equação é $x^2/36 + y^2/32 = 1$.

  • II- Os focos de uma hipérbole são $F_1: (\sqrt{- 5} , 0)$, $F_2: (\sqrt{5} , 0)$ e sua excentricidade $\sqrt{10} / 2$. Sua Equação é $3x^2 - 2y^2 = 6.$

  • III- A parábola $2y = x^{2} - 10x - 100$ tem como vértice o ponto $P: (5, 125/2)$.

Então:


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ITA IIIT 01/04/2022 21:09
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Conhecida as propriedades da elipse, sabemos que a distância do foco ao co-vértice é igual ao semi-eixo maior, além disso, sabida a equação fundamental da elipse, temos: \begin{matrix} \{ a = 6 \ , \ c = 2 \} &,& a^2 = b^2 + c^2 &\Rightarrow& b = \sqrt{32} \end{matrix}Assim, a equação dessa elipse seria: \begin{matrix} {\dfrac{x^2}{6^2} + \dfrac{y^2}{(\sqrt{32})^2}} &=& 1 \end{matrix} $\color{orange}{Adendo:}$ $a: $ semi-eixo maior, $c:$ distância do foco a origem, $b:$ semi-eixo menor $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Com conhecimento da excentricidade e o foco podemos encontrar o semi-eixo real, logo: \begin{matrix} e = {\dfrac{c}{a}} &\Rightarrow& a = \sqrt{2} \end{matrix}Da relação fundamental da hipérbole, têm-se: \begin{matrix} c^2 = a^2 + b^2 &\Rightarrow& b = \sqrt{3} \end{matrix}Por fim, a equação da hipérbole será: \begin{matrix} {\dfrac{x^2}{(\sqrt{2})^2} - \dfrac{y^2}{(\sqrt{3})^2}} &=& 1 &\therefore& 3x^2 - 2y^2 = 6 \end{matrix} $\color{orange}{Adendo:}$ $a: $ semi-eixo real, $c:$ distância do foco a origem, $b:$ semi-eixo imaginário $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Trabalhando a expressão da parábola: \begin{matrix} 2y + \color{royalblue}{125} = x^2 -10 - 100 + \color{royalblue}{125} &\Rightarrow& 2\left(y + \dfrac{125}{2}\right) = (x - 5)^2 \end{matrix} Lembre-se que a equação da parábola é: $(x-x_v)^2 = 2p(y - y_v) $ , assim, o vértice é: \begin{matrix} P: \left(5\ , - \dfrac{125}{2}\right) \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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