Considere a equação:$$\text{det} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ G(x) & 2x & F(x) \\ [G(x)]^2 & 4x^2 & [F(x)]^2 \end{bmatrix}=0$$

$F(x) = \frac{x^{4}+x^{3}-x+1}{x^{2}} , G(x) = \frac{x^{2}-1}{x}$, com $x \in R$ $x \neq 0$ Sobre as raízes reais dessa equação, temos:


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ITA IIIT 18/02/2022 21:52
A questão em si possui diversas formas de resolução, e todas elas caem sobre como você lidará com o determinante, é possível reduzi-lo por $\text{Chió}$, até mesmo aplicar $\text{Sarrus}$. Entretanto, com conhecimento do $\text{determinante de Vandermonde}$, a questão é quase que um exercício de aplicação:\begin{matrix} 2 \begin{vmatrix} 1&&1&&1 \\ G(x)&&2x&&F(x) \\ [G(x)]^2&&4x^2&&[F(x)]^2 \end{vmatrix} &=& [G(x) - 2x].[G(x) - F(x)].[2x-F(x)] &=& 0 \end{matrix} • $G(x) - 2x = 0$ \begin{matrix} { \dfrac{x^2 - 1}{x} - \dfrac{2x^2}{x} } &=& 0 &&\Rightarrow&& x^2 = -1 \ \text{(Não satisfaz)} \end{matrix} • $G(x) - F(x) = 0$ \begin{matrix} { \dfrac{x^3 - x}{x^2} - \dfrac{x^4 + x^3 -x + 1}{x^2} } &=& 0 &&\Rightarrow&& x^4 = 1 \ \text{(Não satisfaz)} \end{matrix} • $2x - F(x)= 0$ \begin{matrix} { \dfrac{2x^3}{x^2} - \dfrac{x^4 + x^3 -x + 1}{x^2} } &=& 0 &&\Rightarrow&& x^4 - x^3 - x + 1 &=& 0 \end{matrix} Você pode usar o $\text{Dispositivo de Briot-Ruffini}$, entretanto, podemos apenas fatorar, veja: \begin{matrix} x^3(x - 1) - 1.(x-1) &=& (x^3 - 1).(x-1) &=& 0 \\ \\ x^3 = 1 &ou& x = 1 \end{matrix}Por fim, atente ao enunciado, $x \in \mathbb{R}$, isso explica o porquê de algumas das soluções não satisfazerem o problema. Dessa forma, não é difícil dizer que nenhuma alternativa está correta, visto que a única solução possível, não é par, não é irracional e não é negativa. \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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