Sejam $a$ e $b$ constante reais. Sobre a equação:$$x^{4}- (a + b)x^{3}+ (ab + 2)x^{2} - (a + b)x + 1 = 0$$podemos afirmar que:


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ITA IIIT 14/03/2022 02:39
$-$ Com conhecimento que este é um $\text{polinômio simétrico}$, sabemos que há uma fatoração característica destes polinômios, essa em questão, escreveremos como: \begin{matrix} x^4 &-& (a+b)x^3 &+& (ab+2)x^2 &-& (a+b)x &+& 1 &=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} x^2 &. & [ x^2 &-& \color{royalblue}{(a+b)x} &+& \color{gray}{ (ab+2)} &-& \color{royalblue}{(a+b)\large{\frac{1}{x}}} &+& \large{\frac{1}{x^2}}] &=& 0 \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ \begin{matrix} (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} x^2 &. & [ & (x^2 + \frac{1}{x^2}) &-& (a+b)(x + \frac{1}{x}) &+& (ab + 2) & ] &=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} x^2 &. & [ & (x + \frac{1}{x})^2 &-& 2 &-& (a+b)(x + \frac{1}{x}) &+& (ab + 2) & ] &=& 0 \end{matrix} Fazendo $\color{royalblue}{(x + \frac{1}{x}) = y}$ , temos: \begin{matrix} x^2 &.& [ & y^2 &-& y(a+b) &+& ab & ] &=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} y^2 - y(a+b) + ab &\Rightarrow& \fbox{$y_1 = a \ \ , \ \ y_2 = b$} \end{matrix} Portanto, temos: \begin{matrix} x + \frac{1}{x}= a &&,&& x + \frac{1}{x}= b \\ \\ x^2 - xa +1 = 0 &&&& x^2 - xb +1 = 0 \\ \\ \Delta = a^2 - 4 \ge 0 &&&& \Delta = b^2 - 4 \ge 0 \\ \\ \fbox{$|a| \ge 2$} &&&& \fbox{$|b| \ge 2 $} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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