Sejam $a$ e $b$ constante reais. Sobre a equação:$$x^{4}- (a + b)x^{3}+ (ab + 2)x^{2} - (a + b)x + 1 = 0$$podemos afirmar que:


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ITA IIIT 14/03/2022 02:39
Com conhecimento que este é um $\text{polinômio simétrico}$, sabemos que há uma fatoração característica destes polinômios, essa em questão, escreveremos como: \begin{matrix} x^4 - (a+b)x^3 + (ab+2)x^2 - (a+b)x + 1 &=& 0 \\ \\ x^2 \cdot \left[ x^2 - \color{royalblue}{(a+b)x} + \color{gray}{ (ab+2)} - \color{royalblue}{(a+b) {\dfrac{1}{x}}} + {\dfrac{1}{x^2}} \right] &=& 0 \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ \begin{matrix} \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} x^2 \cdot \left[ \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - (a+b)\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + (ab + 2) \right] &=& 0 \\ \\ x^2 \cdot \left[ \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 - (a+b)\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + (ab + 2) \right] &=& 0 \end{matrix}Fazendo $\color{royalblue}{\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = y}$ , temos: \begin{matrix} x^2 \cdot [ y^2 - y(a+b) + ab ] &=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} y^2 - y(a+b) + ab &\Rightarrow& \fbox{$y_1 = a \ \ , \ \ y_2 = b$} \end{matrix}Portanto, temos: \begin{matrix} x + \dfrac{1}{x}= a &&,&& x + \dfrac{1}{x}= b \\ \\ x^2 - xa +1 = 0 &&&& x^2 - xb +1 = 0 \\ \\ \Delta = a^2 - 4 \ge 0 &&&& \Delta = b^2 - 4 \ge 0 \\ \\ \fbox{$|a| \ge 2$} &&&& \fbox{$|b| \ge 2 $} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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