Sabe-se que $2(\cos \pi/20 +i \sin \pi/20)$ é uma raiz quíntupla de $w$. Seja $S$ o conjunto de todas as raízes de $\displaystyle z^{4} - 2z^{2} + \frac{w - 16\sqrt{2}i}{8\sqrt{2}}=0$. Um subconjunto de $S$ é:


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ITA IIIT 21/10/2021 16:14
$-$ Segundo o enunciado, aplicando a primeira Lei de Moivre $(Z^n = |Z|^n. Cis{(n.{\theta}}))$ $\color{orangered}{Obs:}$ \begin{matrix} Cis{\theta} = \cos{\theta} + i.\sin{\theta} &,& (Cis{\theta})^n =Cis{(n.\theta)} \end{matrix} Logo: \begin{matrix} w = 2^5.Cis{\frac{5\pi}{20}} &\Rightarrow& w = 32.(\cos{\frac{\pi}{4}} + i.\sin{\frac{\pi}{4}}) &\therefore& w = 16.\sqrt{2} + 16.i.\sqrt{2} \ \ \color{royalblue}{(1)} \end{matrix} • Resolvendo a equação de segundo grau em $z^2$ e substituindo (1) na equação. \begin{matrix} (z^2)^2 - 2.(z^2)^1 + 2 = 0 &\Rightarrow& \Delta = -4 &\Rightarrow& \sqrt{\Delta} = i.\sqrt{2} &\Rightarrow& z^2 = {\large{\frac{2 \pm 2.i}{2}}} &\therefore & z^2 = 1 + i \ \ \ ou \ \ \ z^2 = 1-i\end{matrix} • Aplicando a segunda Lei de Moivre $(\sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{|Z|}. Cis{\frac{\theta}{n}})$ e analisando os resultados. Para $ z^2 = 1+i = \sqrt{2}.Cis{\frac{\pi}{4}}$: \begin{matrix} z_1 = \sqrt[4]{2}.Cis{\frac{\pi}{8}} \ \ ou \ \ z_2 = \sqrt[4]{2}.Cis{\frac{9\pi}{8}} \end{matrix} Para $ z^2 = 1-i = \sqrt{2}.Cis{\frac{7\pi}{4}}$: \begin{matrix} z_3 = \sqrt[4]{2}.Cis{\frac{7\pi}{8}} \ \ ou \ \ z_4 = \sqrt[4]{2}.Cis{\frac{15\pi}{8}} \end{matrix} • Analisando as opções, a única que condiz com o comando da questão é a: \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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