Sabe-se que $2(\cos \pi/20 +i \sin \pi/20)$ é uma raiz quíntupla de $w$. Seja $S$ o conjunto de todas as raízes de $\displaystyle z^{4} - 2z^{2} + \frac{w - 16\sqrt{2}i}{8\sqrt{2}}=0$. Um subconjunto de $S$ é:


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ITA IIIT 21/10/2021 16:14
Segundo o enunciado, aplicando a primeira Lei de Moivre $(Z^n = |Z|^n \cdot Cis{(n{\theta}}))$ $\color{orangered}{Obs:}$ \begin{matrix} Cis{\theta} = \cos{\theta} + i\cdot \sin{\theta} &,& (Cis{\theta})^n =Cis{(n\theta)} \end{matrix} Logo: \begin{matrix} w = 2^5\cdot Cis\left({\dfrac{5\pi}{20}}\right) &\Rightarrow& w = 32\cdot \left(\cos{\dfrac{\pi}{4}} + i\cdot \sin{\dfrac{\pi}{4}}\right) &\therefore& w = 16\sqrt{2} + 16i\cdot \sqrt{2} \ \ \color{royalblue}{(1)} \end{matrix} • Resolvendo a equação de segundo grau em $z^2$ e substituindo (1) na equação. \begin{matrix} (z^2)^2 - 2(z^2)^1 + 2 = 0 &\Rightarrow& \Delta = -4 &\Rightarrow& \sqrt{\Delta} = i\cdot \sqrt{2} &\Rightarrow& z^2 = {{\dfrac{2 \pm 2i}{2}}} &\therefore & z^2 = 1 + i \ \ \ ou \ \ \ z^2 = 1-i\end{matrix} • Aplicando a segunda Lei de Moivre $[\sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{|Z|} \cdot Cis(\theta/n) ]$ e analisando os resultados. Para $ z^2 = 1+i = \sqrt{2}\cdot Cis\left({\dfrac{\pi}{4}}\right)$: \begin{matrix} z_1 = \sqrt[4]{2} \cdot Cis\left({\dfrac{\pi}{8}}\right) \ \ ou \ \ z_2 = \sqrt[4]{2}\cdot Cis\left({\dfrac{9\pi}{8}}\right) \end{matrix}Para $ z^2 = 1-i = \sqrt{2}\cdot Cis\left({\dfrac{7\pi}{4}}\right)$: \begin{matrix} z_3 = \sqrt[4]{2}\cdot Cis\left({\dfrac{7\pi}{8}}\right) \ \ ou \ \ z_4 = \sqrt[4]{2}\cdot Cis\left({\dfrac{15\pi}{8}}\right) \end{matrix}Analisando as opções, a única que condiz com o comando da questão é a: \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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