Num triângulo $ABC$, retângulo em $\hat{A}$, temos $\hat{B}= 60^{\circ}$. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto $D$. Se o segmento de reta $BD$ mede $1\ cm$, então a hipotenusa mede:


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ITA IIIT 22/01/2022 23:18
$• \ \text{Resolução I:}$ $-$ O ponto de encontro das bissetrizes é chamado de incentro, este que também é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Nesse contexto, seja $R$ o raio da circunferência inscrita, esboçando-se a situação, denotemos por $E$ o ponto de tangência entre o lado $\overline{AB}$ e a circunferência. Dessa forma, temos três triângulos retângulos, os quais usaremos para encontrar o lado $\overline{BC}$, assim, comecemos encontrando $\overline{AB}$ : \begin{matrix} B\hat{E}D = 30º \ \Rightarrow \ \cos{30º} = \frac{\overline{EB}}{\overline{BD}} = \frac{\overline{EB}}{1} \\ \\ \fbox{$\overline{EB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$} \end{matrix} Repara agora que, \begin{matrix} \overline{ED} = \overline{AE} = R \\ \\ \color{gray}{\text{O triângulo retângulo $ADE$ é isósceles}} \end{matrix} Assim, \begin{matrix} B\hat{E}D = 30º \ \Rightarrow \ \sin{30º} = \frac{\overline{ED}}{\overline{BD}} = \frac{R}{1} \\ \\ \fbox{$R = \frac{1}{2}$} \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} \overline{AB} = \overline{AE} + \overline{EB} \\ \\ \overline{AB} = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}}{2} \end{matrix} Agora, no triângulo $ABC$, temos: \begin{matrix} \sin{30º} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \\ \\ \fbox{$ \overline{BC} = (1 + \sqrt{3}) \ cm $} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $-$ Esboçando a situação, primeiro vamos encontrar alguns ângulos, denotemos por $E$ o ponto que liga a bissetriz de $A$ ao lado $\overline{BC}$, assim: \begin{matrix} B\hat{D}E = B\hat{A}D + A\hat{B}D \\ B\hat{D}E = 45º + 30º \\ \\ \fbox{$B\hat{D}E = 75 º$} \end{matrix} Perceba que, $ADE$ é isósceles, isto é, o lado $ \fbox{$\overline{BE} = 1$}$ $-$ Pela lei dos cossenos no triângulo $ADE$, podemos encontrar $\overline{DE}$: \begin{matrix} \overline{DE}^2 = 1^2 + 1^2 - 2.1.1.\cos{30º} \\ \\ \fbox{$ \overline{DE}^2 = 2 - \sqrt{3} $} \end{matrix} $-$ Note que, com o ângulo $B\hat{D}E$, podemos encontrar o ângulo $C\hat{E}D$, e por conseguinte, o ângulo $C\hat{D}E$: \begin{matrix} C\hat{E}D = 180º - B\hat{D}E \\ \\ \fbox{$C\hat{E}D = 105º$} \\ \\ C\hat{D}E = 180º - C\hat{E}D - D\hat{C}E = 180º - 105º - 15º \\ \\ \fbox{$C\hat{D}E = 60º$} \end{matrix} $-$ Aplicando a lei dos senos no triângulo $CDE$: \begin{matrix} \large { \frac{\overline{EC}}{ \sin{60º}} = \frac{\overline{DE}}{ \sin{15º}}} \\ \\ \color{gray}{\fbox{$\cos{30º} = 1 - 2.\sin^2{15º}$}} \\ \\ \fbox{$ \overline{EC} = \sqrt{3} $} \end{matrix} $-$ Por fim, o lado $\overline{BC}$: \begin{matrix} \overline{BC} = \overline{BE} + \overline{EC} \\ \\ \fbox{$ \overline{BC} = (1 + \sqrt{3}) \ cm $} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix} $• \ \text{Resolução III:}$ $-$ Num caminho análogo ao do começo da resolução II (encontrando ângulos), podemos aplicar a lei dos senos no triângulo $BCD$, vejamos: \begin{matrix} \large { \frac{\overline{BC}}{ \sin{135º}} = \frac{\overline{BD}}{ \sin{15º}}} \\ \Downarrow \\ \fbox{$ \overline{BC} = (1 + \sqrt{3}) \ cm $} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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Diego Admin
02:43 26/01/2022
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