Num triângulo $ABC$, retângulo em $\hat{A}$, temos $\hat{B}= 60^{\circ}$. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto $D$. Se o segmento de reta $BD$ mede $1\ cm$, então a hipotenusa mede:


img
ITA IIIT 22/01/2022 23:18
$• \ \text{Resolução I:}$ O ponto de encontro das bissetrizes é chamado de incentro, este que também é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Nesse contexto, seja $R$ o raio da circunferência inscrita, esboçando-se a situação, denotemos por $E$ o ponto de tangência entre o lado $\overline{AB}$ e a circunferência. Dessa forma, temos três triângulos retângulos, os quais usaremos para encontrar o lado $\overline{BC}$, assim, comecemos encontrando $\overline{AB}$ : \begin{matrix} B\hat{E}D = 30º & \Rightarrow & \cos{30º} = \dfrac{\overline{EB}}{\overline{BD}} = \dfrac{\overline{EB}}{1} &\therefore& {\overline{EB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \end{matrix}Repara agora que, \begin{matrix} \overline{ED} = \overline{AE} = R \\ \color{gray}{\text{O triângulo retângulo $ADE$ é isósceles}} \end{matrix}Assim, \begin{matrix} B\hat{E}D = 30º & \Rightarrow & \sin{30º} = \dfrac{\overline{ED}}{\overline{BD}} = \dfrac{R}{1} &\therefore& {R = \dfrac{1}{2}} \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} \overline{AB} = \overline{AE} + \overline{EB} &\Rightarrow& \overline{AB} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \end{matrix}Agora, no triângulo $ABC$, temos: \begin{matrix} \sin{30º} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}} &\therefore& \fbox{$ \overline{BC} = (1 + \sqrt{3}) \ \pu{cm} $} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ Esboçando a situação, primeiro vamos encontrar alguns ângulos, denotemos por $E$ o ponto que liga a bissetriz de $A$ ao lado $\overline{BC}$, assim: \begin{matrix} B\hat{D}E = B\hat{A}D + A\hat{B}D &\Rightarrow& B\hat{D}E = 45º + 30º &\therefore& {$\hat{D}E = 75 º} \end{matrix}Perceba que, $ADE$ é isósceles, isto é, o lado $ \overline{BE} = 1$. Pela lei dos cossenos no triângulo $ADE$, podemos encontrar $\overline{DE}$: \begin{matrix} \overline{DE}^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos{30º} &\Rightarrow& { \overline{DE}^2 = 2 - \sqrt{3} } \end{matrix}Note que, com o ângulo $B\hat{D}E$, podemos encontrar o ângulo $C\hat{E}D$ e, por conseguinte, o ângulo $C\hat{D}E$: \begin{matrix} C\hat{E}D = 180º - B\hat{D}E \\ {C\hat{E}D = 105º} \\ C\hat{D}E = 180º - C\hat{E}D - D\hat{C}E = 180º - 105º - 15º \\ {C\hat{D}E = 60º} \end{matrix}Aplicando a lei dos senos no triângulo $CDE$: \begin{matrix} { \dfrac{\overline{EC}}{ \sin{60º}} = \dfrac{\overline{DE}}{ \sin{15º}}}&,& \color{}{{\cos{30º} = 1 - 2.\sin^2{15º}}} &\Rightarrow& { \overline{EC} = \sqrt{3} } \end{matrix}Por fim, o lado $\overline{BC}$: \begin{matrix} \overline{BC} = \overline{BE} + \overline{EC} &\therefore& \fbox{$ \overline{BC} = (1 + \sqrt{3}) \ \pu{cm} $} \end{matrix} $• \ \text{Resolução III:}$ Num caminho análogo ao do começo da resolução II (encontrando ângulos), podemos aplicar a lei dos senos no triângulo $BCD$, vejamos: \begin{matrix} { \dfrac{\overline{BC}}{ \sin{135º}} = \dfrac{\overline{BD}}{ \sin{15º}}} & \Rightarrow& \fbox{$ \overline{BC} = (1 + \sqrt{3}) \ \pu{cm} $} \end{matrix}
img
Diego Admin
02:43 26/01/2022
Show!
img
Gabriel Rodrigues 02/09/2022 12:14
Conforme o enunciado, obtemos a figura a seguir.
imagem

Ampliar Imagem

Perceba que o triângulo BDE é retângulo, com hipotenusa e dois ângulos conhecidos, logo é possível encontrar o tamanho do segmento $\overline{BE}$ a partir do cosseno de $30^\circ$. $$\overline{BE} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ cm$$ Nesse mesmo triângulo é possível encontrar o raio da circunferência inscrita, que coincide com o segmento $\overline{DE}$ a partir do seno do mesmo ângulo de $30^\circ$. $$\overline{DE} = R = \dfrac{1}{2} \ cm$$ Agora basta retornar ao triângulo original ABC e calcular o cosseno de $60^\circ$ (agora não é mais bissetriz) e acabou o problema. $$\overline{BC} = 1 + \sqrt{3} \ cm$$
Modo de Edição
0 / 5000
ManualLaTeX