Considere as afirmações:

  • I- Se $f: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função par e $g:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ uma função qualquer, então a composição gof é uma função par.

  • II- Se $f: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função par e $g: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ uma função ímpar, então a composição fog é uma função par.

  • III- Se $f: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função ímpar e inversível então $f^{-1} :\mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função ímpar.

Então:


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Gabriel Rodrigues 13/04/2022 18:17
Definições: Função par: $f(x) = f(-x)$ Função ímpar: $f(x) = -f(-x)$ ou ainda, $-f(x) = f(-x)$ $I.$ $f$ é par e $g$ é uma função qualquer, então g $\circ$ f é par. $$ f(x) = f(-x) $$ Seja $h(x) = g(f(x))$ $$ h(x) = h(-x) \Rightarrow g(f(x)) = g(f(-x)) \ (Par) $$ $II.$ $f$ é par e $g$ é impar, então f $\circ$ g é par. $$ f(x) = f(-x)\\ -g(x) = g(-x) $$ Seja $h(x) = f(g(x))$ $$ h(x) = h(-x) \Rightarrow f(g(x)) = f(g(-x)) $$ Com isso, segue que $$ f(g(x)) = f(g(-x)) \ (Par) $$ $III.$ $f$ é ímpar e inversível, então $f^{-1}$ é ímpar. $$ f(x) = -f(-x) $$ $$ f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x) \ (ímpar) $$ $$ \therefore \text{Letra E} $$
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