Considere as afirmações:
I- Se é uma função par e uma função qualquer, então a composição gof é uma função par.
II- Se é uma função par e uma função ímpar, então a composição fog é uma função par.
III- Se é uma função ímpar e inversível então é uma função ímpar.
Então:
Definições:
Função par: $f(x) = f(-x)$
Função ímpar: $f(x) = -f(-x)$ ou ainda, $-f(x) = f(-x)$
$I.$ $f$ é par e $g$ é uma função qualquer, então g $\circ$ f é par.
$$
f(x) = f(-x)
$$
Seja $h(x) = g(f(x))$
$$
h(x) = h(-x) \Rightarrow g(f(x)) = g(f(-x)) \ (Par)
$$
$II.$ $f$ é par e $g$ é impar, então f $\circ$ g é par.
$$
f(x) = f(-x)\\
-g(x) = g(-x)
$$
Seja $h(x) = f(g(x))$
$$
h(x) = h(-x) \Rightarrow f(g(x)) = f(g(-x))
$$
Com isso, segue que
$$
f(g(x)) = f(g(-x)) \ (Par)
$$
$III.$ $f$ é ímpar e inversível, então $f^{-1}$ é ímpar.
$$
f(x) = -f(-x)
$$
$$
f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x) \ (ímpar)
$$
$$
\therefore \text{Letra E}
$$
