Considere a região ao plano cartesiano $xy$ definido pela desigualdade: $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 \leq 0$. Quando esta região rodar um ângulo de $\dfrac{\pi}{3}$ radianos em torno da reta $y + x + 1 = 0$, ela irá gerar um sólido cujo volume é igual a:
Encontrando o raio $(R)$ e o centro do nosso disco
\begin{matrix} x^2 & +& y^2 &-& 2x & + & 4y & +& 4 &+& \color{royalblue}{1} &\le& \color{royalblue}{1}
\end{matrix} \begin{matrix} (x-1)^2 &+& (y+2)^2 &\le& (1)^2
\end{matrix} Logo, \begin{matrix} \fbox{$\begin{matrix} R = 1 &,& C: (1 \ , -2) \end{matrix} $}
\end{matrix}Analisando a reta: $y+x +1 = 0$
Veja que, a reta passa pelo centro do nosso disco:
\begin{matrix} y = -2 \ \Leftrightarrow \ x = 1
\end{matrix}Dessa forma, ao girar o disco em torno da reta que passa pelo centro, teremos duas $\text{cunhas esféricas}$ congruentes.
Volume do sólido:
O volume de uma esfera é: $V_e = \dfrac{4}{3}\pi.R^3$, como queremos o volume de duas cunhas esféricas, temos:
\begin{matrix} {V_{2c} = 2\cdot \left( \dfrac{\dfrac{\pi}{3}}{2\pi}\right)\cdot \dfrac{4}{3}\pi\cdot R^3} &\therefore& \fbox{$V_{2c} = \dfrac{4}{9}\pi$}
\end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (D)
\end{matrix}
