Considere a região ao plano cartesiano $xy$ definido pela desigualdade: $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 \leq 0$. Quando esta região rodar um ângulo de $\dfrac{\pi}{3}$ radianos em torno da reta $y + x + 1 = 0$, ela irá gerar um sólido cujo volume é igual a:


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ITA IIIT 22/01/2022 18:04
$-$ Encontrando o raio $(R)$ e o centro do nosso disco \begin{matrix} x^2 & +& y^2 &-& 2x & + & 4y & +& 4 &+& \color{royalblue}{1} &\le& \color{royalblue}{1} \end{matrix} \begin{matrix} (x-1)^2 &+& (y+2)^2 &\le& (1)^2 \end{matrix} Logo, \begin{matrix} \fbox{$\begin{matrix} R = 1 &,& C: (1 \ , -2) \end{matrix} $} \end{matrix} $-$ Analisando a reta: $y+x +1 = 0$ Veja que, a reta passa pelo centro do nosso disco: \begin{matrix} y = -2 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \end{matrix} Dessa forma, ao girar o disco em torno da reta que passa pelo centro, teremos duas $\text{cunhas esféricas}$ congruentes. $-$ Volume do sólido O volume de uma esfera é: $V_e = \frac{4}{3}\pi.R^3$, como queremos o volume de duas cunhas esféricas, temos: \begin{matrix} \large{V_{2c} = 2.(\frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi}).\frac{4}{3}\pi.R^3} \\ \\ \fbox{$V_{2c} = \frac{4}{9}\pi$} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix}
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