Seja $C$ o centro da circunferência $x^2 + y^2 - 6\sqrt{2} y = 0$. Considere $A$ e $B$ os pontos de interseção desta circunferência com a reta $y = \sqrt{2} x$ . Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ é:


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ITA IIIT 22/01/2022 16:02
Encontrando o raio $(R)$ e o centro da circunferência,\begin{matrix} x^2 + y^2 - 6\sqrt{2}y + \color{royalblue}{(3\sqrt{2})^2}= \color{royalblue}{(3\sqrt{2})^2} \end{matrix} \begin{matrix} (x-0)^2 &+& (y-3\sqrt{2})^2 &=& (3\sqrt{2})^2 \end{matrix} Logo, \begin{matrix} \fbox{$\begin{matrix} R = 3\sqrt{2} &,& C: (0 \ , \ 3\sqrt{2}) \end{matrix} $} \end{matrix}Encontrando os pontos $A$ e $B$ \begin{matrix} x^2 + (\sqrt{2}x)^2 - 6\sqrt{2}.(\sqrt{2}x) = 0 &\Rightarrow& x^2 - 4x = 0 \\ \\ x.(x-4)= 0 &\Rightarrow& \fbox{$ x_1 = 0 \ ,\ x_2 = 4$ } \end{matrix} Assim, \begin{matrix} \fbox{$ \begin{matrix} y_1 = 0 &,& y_2 = 4\sqrt{2} \end{matrix} $ } \end{matrix} Dessa forma, \begin{matrix} \fbox{$ \begin{matrix} A: (0 \ , \ 0) &,& B: (4 \ , \ 4\sqrt{2}) \end{matrix} $} \end{matrix}Perímetro do triângulo (aplicando a distância entre dois pontos) \begin{matrix} d_{AB}^2 = (4-0)^2 + (4\sqrt{2}-0)^2 &\Rightarrow& \fbox{$d_{AB} = 4\sqrt{3}$} \\ \\ d_{AC}^2 = (0-0)^2 + (3\sqrt{2}-0)^2 &\Rightarrow& \fbox{$d_{AC} = 3\sqrt{2}$} \\ \\ d_{BC}^2 = (4-0)^2 + ( 4\sqrt{2} -3\sqrt{2})^2 &\Rightarrow& \fbox{$d_{BC} = 3\sqrt{2}$} \end{matrix}Portanto, \begin{matrix} d_{AB} + d_{AC} + d_{BC} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \\ \\ \fbox{$2p = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$} \\ \\ Letra \ (E) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Você também poderia ver os pares ordenados num plano cartesiano e aplicar Pitágoras para encontrar os lados.
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