Seja $p(x) = 16x^5- 78x^4+ ... + \alpha x - 5$ um polinômio de coeficientes reais tal que a equação $p(x) = 0$ admite mais do que uma raiz real e ainda, $a + bi$ é uma raiz complexa desta equação com $ab \neq 0$. Sabendo-se que $\dfrac{1}{a}$ é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de $p(x) = 0$ e que a soma destas raízes reais vale $\dfrac{7}{8}$ enquanto que o produto é $\dfrac{1}{64}$, o valor de $\alpha$ é:


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Nicholas Admin 09/10/2021 23:49
Pelo teorema da raiz complexa conjugada, se $a+bi$ é uma raiz do polinômio então $a-bi$ também será. Assim, uma vez que o polinômio tem grau $5$ e duas raízes complexas, pelo teorema fundamental da álgebra devem haver três raízes reais $(x_1, x_2, x_3)$, que formarão a progressão geométrica. Como o enunciado menciona a soma e o produto das raízes reais, naturalmente pensamos nas relações de Girard. Para um polinômio de grau $5$: - A soma das raízes de $p(x)$ é igual ao simétrico da razão entre o coeficiente do segundo termo de maior grau e coeficiente do primeiro:$$(a+bi)+(a-bi)+(x_1+x_2+x_3)=\frac{78}{16}\\(a+bi)+(a-bi)+\frac{7}{8}=\frac{78}{16}\\\boxed{a=2}$$ - O produto das raízes de $p(x)$ é igual ao simétrico razão entre o termo independente e o coeficiente do termo de maior grau:$$(a+bi)\cdot(a-bi)\cdot(x_1+x_2+x_3)=\frac{5}{16}\\(a^2+b^2)\cdot\frac{1}{64}=\frac{5}{16}\\b^2=20-a^2\\\boxed{b=\pm4}$$ - A soma do produto das raízes de $p(x)$ tomadas $4$ a $4$ (escolhida por envolver $\alpha$) é igual à razão entre o coeficiente do termo de grau $1$ e o coeficiente do termo de maior grau :$$(a+bi)(a-bi)x_1x_2+(a+bi)(a-bi)x_1x_3+(a+bi)(a-bi)x_2x_3+(a+bi)x_1x_2x_3+(a-bi)x_1x_2x_3=\frac{\alpha}{16}$$ E ainda, como $x_1, x_2, x_3$ formam uma PG de raiz $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}$, então $(x_1,x_2,x_3)=\left(2u,u,\dfrac{u}{2}\right)$ cujo produto é:$$2u\cdot u\cdot\frac{u}{2}=\frac{1}{64}\Rightarrow\boxed{u=\frac{1}{4}}$$ Assim, desenvolvendo a relação de Girard anterior e posteriormente substituindo os termos conhecidos:$$4u^2(a^2+b^2)+u^2(a^2+b^2)+\frac{u^2}{2}(a^2+b^2)+(a+bi)u^3+(a-bi)u^3=\frac{\alpha}{16}\\2\cdot\frac{1}{16}\cdot 20+\frac{1}{16}\cdot20+\frac{1}{32}\cdot20+2\cdot2\cdot\frac{1}{64}=\frac{\alpha}{16}$$$$\boxed{\alpha=71}\quad\text{Gab. c)}$$
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