Sejam $A$, $B$ e $C$ matrizes quadradas $n \times n$ tais que $A$ e $B$ são inversíveis e $ABCA = A^t$ , onde $A^t$ é a transposta da matriz $A$. Então podemos afirmar que:


img
ITA IIIT 17/02/2022 22:57
$-$ A questão requer o conhecimento de duas propriedades, a primeira, o $\text{Teorema de Binet}$, a segunda, o fato do determinante da matriz ser igual ao da transposta. Dessa forma, temos: \begin{matrix} det(ABCA) = det(A^t) \\ \\ det(A).det(B).det(C).det(A) = det(A) \\ \\ det(C) = \Large{\frac{1}{det(B).det(A)}} \\ \\ \fbox{$det(C) = det(AB)^{-1}$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Uma matriz é dita inversível quando seu determinante é diferente de zero (condição suficiente), logo, $det(A) \ne 0$ e $det(B) \ne 0$, o que consequentemente faz $det(C) \ne 0$. \begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000