Sabendo-se que $\theta$ é um ângulo tal que $2 \sin(\theta - 60^{\text{o}}) = \cos (\theta + 60^{\text{o}})$, então $\tan \theta$ é um número da forma $a + b\sqrt{3}$ onde


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Diego Admin 07/05/2022 13:50
Para resolver, podemos "abrir" o seno do lado direito e o cosseno do lado esquerdo: $$\sin{(a+b)} = \sin{a}\cos{b} + \sin{b}\cos{a}$$ $$\cos{(a+b)} = \cos{a}\cos{b} - \sin{b}\sin{a}$$ Assim, como $\sin{60} = \frac{\sqrt 3}{2}$ e $\cos{60} = \frac{1}{2}$ $$2\cdot \left(\sin{\theta}\cdot \frac{1}{2} - \cos{\theta}\cdot \frac{\sqrt 3}{2} \right) = \frac{1}{2}\cdot \cos{\theta} - \frac{\sqrt 3}{2}\cdot \sin{\theta}$$ dividindo tudo por $\cos{\theta}$ e sumindo com o denominador $2$ que divide os dois lados da equação: $$2\cdot \tan{\theta} - 2\cdot \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3} \cdot \tan{\theta}$$ isolando $\tan{\theta}$ $$\tan{\theta} = \frac{1 + 2\sqrt 3}{2 + \sqrt 3} = -4 + 3\sqrt {3}$$ ou seja, $a$ e $b$ são inteiros $$Letra \ B$$
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