Seja a função definida por Lembrando que se então considere as afirmações:

  • I- não é injetora e

  • II- não é sobrejetora e

  • III- é injetora e

Então podemos garantir que:


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ITA IIIT 29/12/2021 00:00
A priori, a questão trabalha o conhecimento acerca de $imagem \ inversa$. Dito isso, analisemos a função: $•$ $f$ $\text{é sobrejetora?}$ $\color{orangered}{\text{Não}}$ Veja que o valor máximo de $f(x)$ é $4$, isto é, todos os números acima de $4$ não pertencem a imagem, logo, ela não satisfaz uma sobrejeção, pois seu contradomínio está nos reais, sem exceção. $•$ $f$ $\text{é injetora?}$ $\color{orangered}{\text{Não}}$ Repare que existe uma mesma imagem para dois valores de $x$, isso ocorre quando $x= -1$ e $x =1$, em ambos os casos $f(x) = 1$. $\color{#3868b8}{\text{Obs:}}$ Agora é a parte mais interessante da questão, o enunciado gentilmente já nos deu a definição da imagem inversa (imagem recíproca), então, continuemos: $•$ $f^{-1}([3,5]) = \{ 4 \}$ $?$ $\color{orangered}{\text{Não}}$ Não! Note que entre $[3,5]$ o único número que possui imagem é o $4$, porém essa não é a informação que buscamos, na verdade, queremos todos os valores de $x$ que contenham imagem entre $[3,5]$. Atente ao enunciado, ou melhor:\begin{matrix} f^{-1}([3,5]) = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \in [3,5]\} \end{matrix}Veja que, literalmente, a lei acima nos diz: "$f^{-1}([3,5])$ é igual ao conjunto dos números reais $x$ tal que $f(x)$ pertence a $[3,5]$". Ou seja, $f(x)$ precisa ser igual a um valor entre $[3,5]$. Como resultado, é necessário que $ x>1$, pois $f(x) = 4 $, assim como:\begin{matrix} f^{-1}([3,5]) = \ ] \ 1 \ , \ +\infty[ \end{matrix} $•$ $f^{-1}([3,5]) = f^{-1}([2,6])$ $?$ $\color{#3868b8}{\text{Sim}}$ A ideia é análoga ao que fizemos anteriormente, pois para que $f(x)$ esteja entre $2$ e $6$, deve-se ter $x>1$ - resultado exatamente igual ao anterior. A partir de tudo isso, já sabemos a resposta: \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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Daniel Hiro
14:24 18/04/2024
Perfeita solução, valeu🙏
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