Seja $f: \mathbb{R}→\mathbb{R}$ a função definida por $$f(x) = \begin{cases} x + 2 \; \text{ se } x \leq -1\\ x^2, \; \text{ se } -1 < x \leq 1\\ 4, \; \text{ se } x > 1 \end{cases}$$Lembrando que se $A \subset R $ então $f^{-1}(x) = \{x \in \mathbb{R}: f(x) \in A\}$ considere as afirmações:

  • I- $f$ não é injetora e $f^{-1} ([3 , 5]) = \{4\}$

  • II- $f$ não é sobrejetora e $f^{-1} ([3 , 5]) = f^{-1} ([2 , 6])$

  • III- $f$ é injetora e $f^{-1} ([0 , 4]) = [-2 , +\infty[$

Então podemos garantir que:


img
ITA IIIT 29/12/2021 00:00
A priori, a questão trabalha o conhecimento acerca de $imagem \ inversa$. Dito isso, analisemos a função: $•$ $f$ é sobrejetora? Não! Veja que, o valor máximo de $f(x)$ é $4$, isto é, todos os números acima de $4$ não pertencem a imagem, logo, ela não satisfaz uma sobrejeção, pois, seu contradomínio está nos reais, sem exceção. $•$ $f$ é injetora? Não! Repare que, existe uma mesma imagem para dois valores de $x$, isso ocorre quando $x= -1$ e $x =1$, em ambos os casos $f(x) = 1$. Agora é a parte mais interessante da questão, o enunciado gentilmente já nos deu a definição da imagem inversa, então, continuemos: $•$ $f^{-1}([3,5]) = \{ 4 \}$ ? Não! Note que, entre $[3,5]$ o único número que possui imagem é o $4$, porém, essa não é a informação que buscamos, na verdade, queremos todos os valores de $x$ que contenham imagem entre $[3,5]$. Dessa forma, ao analisar as leis da função, é possível definir que: \begin{matrix} f^{-1}([3,5]) = \ ] \ 1 \ , \ \infty_+[ \end{matrix} $•$ $f^{-1}([3,5]) = f^{-1}([2,6])$ ? Correto! A ideia é análoga ao que fizemos anteriormente. Com todos nossos resultados, já sabemos a resposta: \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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