Seja $z =a+bi$ \begin{matrix} Re(z) = a \ \ \ \ e \ \ \ \ Im(z) = b \\ \\ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{matrix}Segundo enunciado: \begin{matrix} 1 + \sqrt{{Re(z)}^2 + {Im(z)}^2} = \sqrt{[1 + {Re(z)}]^2 + {Im(z)}^2} \\ \\ 1^2 + ({Re(z)}^2 + {Im(z)}^2) + 2.\sqrt{{Re(z)}^2 + {Im(z)}^2} = [1 + {Re(z)}]^2 + {Im(z)}^2 \\ \sqrt{{Re(z)}^2 + {Im(z)}^2} = Re(z) \\ {{Re(z)}^2 + {Im(z)}^2} = {Re(z)}^2 \\ \\ {Im(z)}^2 = 0 \end{matrix}Mas e o $Re(z)$? \begin{matrix} |z| \ge 0 \\ \\ \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0 \\ \\ \sqrt{{Re(z)}^2} \ge 0 \\ \\ Letra \ {(B)} \end{matrix}

Seja $z = x + yi$ com $x , y \in \mathbb{R}$. Sabendo que $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} $ , podemos escrever que : $1 + |z| = |1+z| = 1 + \sqrt{x^2 + y^2} = | 1 + x + yi|$ $= \sqrt{(1+x)^2 + y^2} = 1 + \sqrt{x^2 + y^2} $ $\therefore (\sqrt{(1+x)^2 + y^2})^2 = (1 + \sqrt{x^2 + y^2})^2$ $(x+1)^2 + y^2 =(1 + \sqrt{x^2 + y^2})^2 $ $ = x^2 + 2x + 1 + y^2 = 1 + 2\sqrt{x^2 + y^2} + x^2 + y^2$ $\implies x = \sqrt{x^2 + y^2} \implies x^2 = x^2 + y^2$ $\implies y = 0$ Como $y = 0$ , então a parte imaginária do número complexo $z$ é igual a $0 $, ou seja , $\boxed{Im(z) = 0}$. Agora iremos analisar a parte real $Re(z)$ do número complexo $z$. $z = x + yi = z = x \therefore 1 + |x| = |1+x| \implies 1 = |1+x|- |x|$ Perceba que se $ x<0 $ , então $|1 + x| < 1$ , como $|x| > 0 $ , por consequência podemos afirmar que $|1+x| - |x| < 1$ para $x<0$. Se $x \geq 0$ , então $|1 + x| - |x| = 1 + x - x = |1 + x| - |x| = 1$. Sendo $ x $ a parte real $ Re(z) $ de $ z $ e sabendo que $1 + |x| = |1+x| \Leftrightarrow x\geq 0$ , portanto , $\boxed{Re(z) \geq 0}.$ $\textbf{Resposta : Letra B}$