Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de um qualquer dos sistemas for também uma solução do outro. Considere as seguintes afirmações:

  • I- Dois sistemas de equações lineares $3\times3$, ambos homogêneos, são equivalentes.

  • II- Dois sistemas de equações lineares, $3\times3$, ambos indeterminados, não são equivalentes.

  • III- Os dois sistemas de equações lineares dados a seguir são equivalentes:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 8\\ x + y + z = 10 \end{cases} \begin{cases} x + 2y - z = 3\\x - y + z = 4 \\4x - y + 2z = 14 \end{cases}$$De acordo com a definição dada podemos dizer que:


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ITA IIIT 17/02/2022 22:34
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Sistemas homogêneos possuem todos uma mesma solução comum $(0,0,...,0)$, porém, isso não implica que todas as soluções sejam as mesmas. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Sistemas indeterminados são aqueles que apresentam infinitas soluções, o sistema em si apenas impõe restrições (características) ao conjunto solução. Nessa perspectiva, nada impede dois sistemas diferentes de terem as mesmas restrições, assim, possuindo as mesmas infinitas soluções. $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ Repare que, no primeiro sistema temos um conjunto solução bem tranquilo de se encontrar: \begin{matrix} x = 2 &,& y = 3 &,& z = 5 \end{matrix} Já no segundo sistema, você poderia substituir e ver que não há a mesma solução, entretanto, mais que isso, esse sistema por si só é impossível, veja: \begin{cases} x&+&2y&−&z&=&3& (1) \\ x&−&y&+&z&=&4& (2) \\ 4x&−&y&+&2z&=&14& (3) \end{cases} • $(1) + (2)$: \begin{matrix} 2x + y = 7 \end{matrix} • $(3) - 2.(2)$: \begin{matrix} 2x + y = 6 \\ \\ Letra \ (E) \end{matrix}
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