Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de um qualquer dos sistemas for também uma solução do outro. Considere as seguintes afirmações:
I- Dois sistemas de equações lineares , ambos homogêneos, são equivalentes.
II- Dois sistemas de equações lineares, , ambos indeterminados, não são equivalentes.
III- Os dois sistemas de equações lineares dados a seguir são equivalentes:
De acordo com a definição dada podemos dizer que:
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$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
Sistemas homogêneos possuem todos uma mesma solução comum $(0,0,...,0)$, porém, isso não implica que todas as soluções sejam as mesmas.
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
Sistemas indeterminados são aqueles que apresentam infinitas soluções, o sistema em si apenas impõe restrições (características) ao conjunto solução. Nessa perspectiva, nada impede dois sistemas diferentes de terem as mesmas restrições, assim, possuindo as mesmas infinitas soluções.
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
Repare que, no primeiro sistema temos um conjunto solução bem tranquilo de se encontrar:
\begin{matrix} x = 2 &,& y = 3 &,& z = 5
\end{matrix}
Já no segundo sistema, você poderia substituir e ver que não há a mesma solução, entretanto, mais que isso, esse sistema por si só é impossível, veja:
\begin{cases} x&+&2y&−&z&=&3& (1) \\ x&−&y&+&z&=&4& (2) \\ 4x&−&y&+&2z&=&14& (3) \end{cases}
• $(1) + (2)$:
\begin{matrix} 2x + y = 7
\end{matrix}
• $(3) - 2.(2)$:
\begin{matrix} 2x + y = 6 \\ \\ Letra \ (E)
\end{matrix}
