Tá na hora de cartear. Inicialmente, temos uma bala de massa $m$ que se desloca para a direita em direção a um bloco $M$ e no momento que a bala atinge o alvo, duas coisas acontecem: $1)$ A amplitude dá um salto de $A$ para $2A$; e $2)$ A velocidade do bloco $M$ também dá um salto instantâneo para conservar a energia mecânica do sistema. Com isso, pode-se escrever a conservação do momento linear: $$mv = (m+M)V \Rightarrow V^{2} = \dfrac{m^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}}.$$ Vamos conservar agora a energia mecânica do sistema: $$\dfrac{k(2A)^{2}}{2} = \dfrac{k(A)^{2}}{2} + \dfrac{(m+M)V^{2}}{2} \Rightarrow \boxed{(a) \ v = \dfrac{A}{m}\sqrt{3k(m+M)}}.$$ A velocidade do sistema será máxima quando toda a energia potencial armazenada no corpo de massa $M$ antes da bala ser atingida for convertida em energia cinética, logo $$\dfrac{k(2A)^{2}}{2} = \dfrac{(m+M)V^{2}}{2} \Rightarrow \boxed{(b) \ V = 2A\sqrt{\dfrac{k}{m+M}}}.$$ A quantidade de calor que será transformada será toda a energia dissipada, isto é, basta verificar qual será o $\Delta E$ do sistema. $$\Delta E = \dfrac{4kA^{2}}{2} - \dfrac{mv^{2}}{2} - \dfrac{kA^{2}}{2} = \dfrac{3kA^{2}}{2} - \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{A^{2} \cdot 3k(m+M)}{m^{2}}\right) = - \dfrac{3kA^{2}M}{2m} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \boxed{(c) \ Q = \dfrac{3kA^{2}M}{2m}}.$$