Pelo Teorema de Laplace, tomando como referência os elementos da terceira coluna, temos que$$f(x)~=~2\cdot (-1)^{3+3}\cdot \left[\dfrac{\cos(2x)}{2}-\cos x \sin x\right] \implies \color{red}{f(x)~=~\cos(2x)-\sin(2x)}$$ a) $\begin{cases}f(0) ~=~\cos(0)-\sin(0)~=~1-0 \implies \boxed{f(0)~=~1}\\\\f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) ~=~\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)~=~0-1 \implies \boxed{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)~=~-1}\end{cases}$ b) Para $f(x) = 0$, temos que$$\sin(2x)~=~\cos(2x) \implies \sin^2(2x)~=~\cos^2(2x) \implies 2\sin^2(2x)~=~1$$Como seno e cosseno assumem os mesmos valores, então isto só será possível quando $x$ pertencer ao $1°~$ou $3°$ quadrantes, ou seja, $x \in [0,\frac{\pi}{2}]\cup[\pi,\frac{3\pi}{2}]$. Assim$$\sin(2x)~=~\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup \left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right] \ni ~\boxed{x=\left \{\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{5\pi}{4}\right \}}$$