USP 2021 Matemática - Questões

A figura ilustra uma região de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto $X$ indica um condomínio residencial, e o ponto $Y$ indica a entrada de um parque. Três moradores realizam caminhos diferentes para chegar ao ponto $Y$, partindo do ponto $X$, ilustrados com cores diferentes. Se $a$, $b$ e $c$ representam as distâncias percorridas por esses moradores nesses caminhos, é correto afirmar que:

Qual dos gráficos representa uma relação entre as grandezas $x$ e $y$ em que $y$ sempre diminui na medida em que $x$ aumenta?

São dados os pontos no plano cartesiano $P_1 = (3; 3)$, $P_2 = (5; 1)$, $P_3 = (3; -1)$ e $P_4 = (-2; 5)$.

a) Determine a equação da reta que passa por $P_3$ e é paralela à reta que passa por $P_1$ e $P_4$.

b) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos $P_1, P_2$ e $P_3$.

c) Sendo $C$ a circunferência do item (b) e $P$ o ponto de intersecção de $C$ com o eixo $0x$, que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a $C$ em $P$.

O quadrinho aborda o tema de números primos, sobre os quais é correto afirmar:

É dado o sistema linear

$$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5\\ \\ p\cdot x + q\cdot y = 2 \end{cases}$$

em que $p$ e $q$ são números reais.

a) Determine todos os valores de $p$ e $q$ para que o sistema seja possível e indeterminado (isto é, tenha mais do que uma solução).

b) Determine todos os valores de $p$ e $q$ para que o sistema tenha solução $(x;\ y)$ com $x = 0$.

c) Determine todos os valores de $p$ e $q$ para que o sistema não tenha solução.