USP 2016 Matemática - Questões

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De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes mudanças de moeda no Brasil: $(1)$ em 1942, foi criado o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil réis; $(2)$ em 1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; $(3)$ em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; $(4)$ em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado novo passou a se chamar novamente cruzeiro; $(5)$ em 1993, foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; $(6)$ em 1994, foi criado o real, cada um valendo $2.750$ cruzeiros reais.

Quando morreu, em 1869, Brás Cubas possuía $300$ contos. Se esse valor tivesse ficado até hoje em uma conta bancária, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudança de moeda, o depósito tivesse sido normalmente convertido para a nova moeda, o saldo hipotético dessa conta seria, aproximadamente, de um décimo de

Dados:

Um conto equivalia a um milhão de réis.

Um bilhão é igual a ${10}^9$ e um trilhão é igual a ${10}^{12}$


Os pontos $A$, $B$ e $C$ são colineares, $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 2$ e $B$ está entre $A$ e $C$. Os pontos $C$ e $D$ pertencem a uma circunferência com centro em $A$. Traça-se uma reta $r$ perpendicular ao segmento $\overline{BD}$ passando pelo seu ponto médio. Chama-se de $P$ a interseção de $r$ com $\overline{AD}$. Então, $\overline{AP} + \overline{BP}$ vale


Se não conseguirmos uma distribuição justa dos refugiados, muitos vão questionar Schengen e isso é algo que não queremos.

[Declaração da chanceler alemã, Angela Merkel.]

O Estado de S. Paulo, 01/09/2015.

A Europa vive uma das mais graves crises migratórias de sua história recente. Segundo a Agência das Nações Unidas para Refugiados (Acnur), são esperados ao menos 1,4 milhão de refugiados entre 2015 e 2016.

O Estado de S. Paulo, 19/10/2015.

Considerando o contexto da União Europeia (UE), as informações acima e as respectivas datas de publicação, responda:

  1. a) O que é o Espaço Schengen?

  2. b) O que é a Zona do Euro? Cite um país da UE que não faz parte dessa Zona.

  3. c) Explique qual foi o posicionamento da UE e o papel da Alemanha frente à intensificação desse fluxo migratório.

A igualdade correta para quaisquer $a$ e $b$, números reais maiores do que zero, é


No plano cartesiano $Oxy$, a circunferência $C$ tem centro no ponto $P\ =\ (2,1)$, e a reta $t$ é tangente a $C$ no ponto $Q=\left(-1,\ 5\right)$.

  1. a) Determine o raio da circunferência $C$.

  2. b) Encontre uma equação para a reta $t$.

  3. c) Calcule a área do triângulo $PQR$, sendo $r$ o ponto de interseção de $t$ com o eixo $Ox$.

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