USP 2008 - Questões

Sabe-se sobre a progressão geométrica $a_1\ ,\ a_2\ ,\ a_3,\dots$ que $a_1>0$ e $a_6=-9\cdot \sqrt{3}$. Além disso, a progressão geométrica $a_1,\ \ a_5,\ \ a_9,\dots$ tem razão igual a $9$.

Nessas condições, o produto $a_2\cdot a_7$ vale

A soma dos valores de $m$ para os quais $x\ =\ 1$ é raiz da equação $x^2+\left(1+5m-3m^2\right)x\ +\ (m^2+1)=0$ é igual a:

O triângulo $ACD$ é isósceles de base $\overline{CD}$ e o segmento $\overline{OA}$ é perpendicular ao plano que contém o triângulo $OCD$, conforme a figura:

Sabendo-se que $OA=3$, $AC=5$ e ${\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ O\hat{C}D\ }=\dfrac{1}{3}$, então a área do triângulo $OCD$ vale

A circunferência dada pela equação:

$$x^2+y^2-4x-4y+4=0$$

é tangente aos eixos coordenados $x$ e $y$ nos pontos $A$ e $B$, conforme a figura. O segmento $\overline{MN}$ é paralelo ao segmento $\overline{AB}$ e contém o centro $C$ da circunferência. É correto afirmar que a área da região colorida vale:

Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de $7$ miligramas de vitamina $A$ e $60$ microgramas de vitamina $D$, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece $1$ miligrama de vitamina $A$ e $20$ microgramas de vitamina $D$. Cada pacote de cereais fornece $3$ miligramas de vitamina $A$ e $15$ microgramas de vitamina $D$. Consumindo $x$ litros de iogurte e $y$ pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se