USP 2007 Matemática - Questões

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01 USP 2007 - Matemática

Se Amélia der R$ $3,00$ a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ $6,00$ a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria.

Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria?

02 USP 2007 - Matemática

Em uma progressão aritmética $a_1,\ \ a_2,\ \dots ,\ a_n,\ \dots$ a soma dos $n$ primeiros termos é dada por $S_n=\ bn^2+n$ , sendo$\ b$ um número real. Sabendo-se que $a_3=7$, determine

a) O valor de $b$ e $a$ razão da progressão aritmética.
b) O $20\ ^\circ$ termo da progressão.
c) A soma dos $20$ primeiros termos da progressão.

03 USP 2007 - Matemática

No filme A MARCHA DOS PINGUINS, há uma cena em que o Sol e a Lua aparecem simultaneamente no céu. Apesar de o diâmetro do Sol ser cerca de $400$ vezes maior do que o diâmetro da Lua, nesta cena, os dois corpos parecem ter o mesmo tamanho.

A explicação cientificamente aceitável para a aparente igualdade de tamanhos é:

O Sol está cerca de $400$ vezes mais distante da Terra do que a Lua, mas a luz do Sol é $400$ vezes mais intensa do que a luz da Lua, o que o faz parecer mais próximo da Terra.

A distância do Sol à Terra é cerca de $400$ vezes maior do que a da Terra à Lua, mas o volume do Sol é aproximadamente $400$ vezes maior do que o da Lua, o que faz ambos parecerem do mesmo tamanho.

Trata-se de um recurso do diretor do filme, que produziu uma imagem impossível de ser vista na realidade, fora da tela do cinema.

O efeito magnético perturba a observação, distorcendo as imagens, pois a filmagem foi realizada em região próxima ao Polo.

A distância da Terra ao Sol é cerca de $400$ vezes maior do que a da Terra à Lua, compensando o fato de o diâmetro do Sol ser aproximadamente $400$ vezes maior do que o da Lua.

04 USP 2007 - Matemática

Um arco $x$ está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação $5{{cos}\ 2x\ }+\ 3\ \mathrm{sen}\ x\ =\ 4$. Determine os valores de ${sen}\ x$ e ${{cos}\ x }$.

05 USP 2007 - Matemática

Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou com $100$ indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira hora, são:

Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após $4$ horas do início do experimento, a população de bactérias será de

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