USP 2004 Matemática - Questões

O número de gols marcados nos $6$ jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi $5$, $3$, $1$, $4$, $0$ e $2$.

Na segunda rodada, serão realizados mais $5$ jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja $20\%$ superior à média obtida na primeira rodada?

Três cidades $A$, $B$ e $C$ situam-se ao longo de uma estrada reta; $B$ situa-se entre $A$ e $C$ e a distância de $B$ a $C$ é igual a dois terços da distância de $A$ a $B$. Um encontro foi marcado por $3$ moradores, um de cada cidade, em um ponto $P$ da estrada, localizado entre as cidades $B$ e $C$ e à distância de $210\ \text{km}$ de $A$. Sabendo-se que $P$ está $20\ \text{km}$ mais próximo de $C$ do que de $B$, determinar a distância que o morador de $B$ deverá percorrer até o ponto de encontro.

Um triângulo $ABC$ tem lados de comprimentos $AB = 5$ , $BC = 4$ e $AC = 2$. Sejam $M$ e $N$ os pontos de $\overline{AB}$ tais que $\overline{CM}$ é a bissetriz relativa ao ângulo $A\hat{C}B$ e $\overline{CN}$ é a altura relativa ao lado $\overline{AB}$. Determinar o comprimento de $\overline{MN}$.

Considere a equação $z^2=\alpha z\ +\ (\alpha -1)\overline{z}$, onde a é um número real e $\overline{z}$ indica o conjugado do número complexo $z$.

1. a) Determinar os valores de $\alpha$ para os quais a equação tem quatro raízes distintas.
   

2. b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando $\alpha = 0$.
   

O produto de duas das raízes do polinômio $p\left(x\right)=\ 2x^3-mx^2+4x+3$ e igual a $-1$. Determinar

1. a) O valor de $m$.
   

2. b) As raízes de$\ p$.