USP 2000 Matemática - Questões

Um número inteiro positivo $n$ de $4$ algarismos decimais satisfaz às seguintes condições:

1. I. A soma dos quadrados dos $1º$ e $4º$ algarismos é $58$;
   

2. II. A soma dos quadrados dos $2º$ e $3º$ algarismos é $52$;
   

3. III. Se deste número $n$ subtrairmos o número $3.816$, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número $n$, mas na ordem contrária.
   

Qual é esse número?

1. a) Esboce, para x real, o gráfico da função $f(x)=\left|x-2\right|+\left|2x+1\right|-x-6$. O símbolo $\left|a\right|$ indica o valor absoluto de um número real $a$ e é definido por $\left|a\right|=a$, se $a\ge 0$ e $\left|a\right|=-a$, se $a<0$.
   

2. b) Para que valores reais de $x$, $f(x)>2x+2$?
   

Um investidor quer aplicar $120\ \text{mil reais}$. Seu corretor lhe oferece um investimento, em duas fases, com as seguintes regras:

• Na $1ª$ fase do investimento, ocorrerá um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade $P$, o investidor ganha metade do que investiu; com probabilidade $(1 - P)$, o investidor perde um terço do que investiu.

• Na $2ª$ fase do investimento, a quantia final da $1ª$ fase será reinvestida, de forma independente da $1ª$ fase. Neste novo investimento, ocorrerá um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade $\dfrac{1}{2}$, o investidor ganha a quarta parte do que foi reinvestido; com probabilidade $\dfrac{1}{2}$, o investidor perde metade do que foi reinvestido.

1. a) Se o investidor aplicar seu dinheiro desta forma, com que valores pode ficar ao término do investimento? Qual a probabilidade, em função de $P$, de ficar com cada um desses valores?
   

2. b) Uma revista especializada informa que, neste investimento, a probabilidade de perder dinheiro é $70\%$. Admitindo como correta a informação da revista, calcule $P$.
   

Dois colecionadores de selos têm, juntos, $500$ selos. Cada colecionador comprou um álbum para colocar seus selos. Os dois álbuns eram idênticos, tendo o mesmo número de páginas.

Se o primeiro colecionador colocar exatamente $21$ selos em cada página, ele vai conseguir colocar todos os seus selos e usar todas as páginas do álbum.

Se o segundo colecionador colocar $20$ de seus selos em cada página do álbum, sobrarão alguns selos. Caso ele coloque $23$ selos em cada página, sobra pelo menos uma, totalmente vazia, podendo haver ainda uma outra página com menos de $23$ selos.

Quantas páginas há no álbum?

Determine os números reais $x$ e $y$, com $0\le x+y\le \pi$ e $0\le y\le \pi$, tais que

$$\begin{cases} \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x \cdot \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ y = - \dfrac{1}{4} \\ \\ \cos\ \left(x+y\right) + \cos\ \left(x-y\right) = \dfrac{3}{2} \end{cases}$$