USP 1997 Matemática - Questões

Considere a função $f$ dada por:

$$f(x) = \dfrac{x + 5 - \dfrac{12}{x+1}}{\dfrac{x+9}{x+1} - \dfrac{5}{x}}$$

1. a) Determine o domínio de $f$.
   

2. b) Resolva a inequação $f(x)>0$.
   

Os trabalhos da diretoria de um clube são realizados por seis comissões. Cada diretor participa exatamente de duas comissões e cada duas comissões têm exatamente um diretor comum.

1. a) Quantos diretores tem o clube?
   

2. b) Escolhendo-se, ao acaso, dois diretores, qual é a probabilidade de que eles sejam de uma mesma comissão?
   

Considere um triângulo $ABC$ tal que a altura $\overline{BH}$ seja interna ao triângulo e os ângulos $B\hat{A}H$ e $H\hat{B}C$ sejam congruentes.

1. a) Determine a medida do ângulo $A\hat{B}C$.
   

2. b) Calcule a medida de $\overline{AC}$, sabendo que $AB= 4\ \text{cm}$ e a razão entre as áreas dos triângulos $ABH$ e $BCH$ é igual a $2$.
   

Seja o sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} x+2y-z=0 \\ x-my-3z=0 \\ x+3y+mz=m \end{array} \right.$$

1. a) Determine todos os valores de $m$ para os quais o sistema admite solução.
   

2. b) Resolva o sistema, supondo $m=0$.
   

$ABC$ é um triângulo retângulo em $A$ e $\overline{CX}$ é bissetriz do ângulo $BCA$, onde $X$ é ponto do lado $\overline{AB}$. A medida de $\overline{CX}$ é $4\ \text{cm}$ e a de $\overline{BC}$, $24\ \text{cm}$. Calcule a medida de $\overline{AC}$.