USP 1996 Matemática - Questões

Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.

1. a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.
   

2. b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?
   

No início de sua manhã de trabalho, um feirante tinha $300$ melões que ele começou a vender ao preço unitário de R$ $2,00$. A partir das dez horas reduziu o preço em $20\%$ e a partir das onze horas passou a vender cada melão por R$ $1,30$. No final da manhã havia vendido todos os melões e recebido o total de R$ $461,00$.

1. a) Qual o preço unitário do melão entre dez e onze horas?
   

2. b) Sabendo que $\dfrac{5}{6}$ dos melões foram vendidos após as dez horas, calcule quantos foram vendidos antes das dez, entre dez e onze e após as onze horas.
   

Seja $f(x)$ o logaritmo de $2x$ na base $x^2+\dfrac{1}{2}$.

1. a) Resolva a equação $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}$.
   

2. b) Resolva a inequação $f(x) > 1$.
   

Considere a função $f\left(x\right)=\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x\cdot \cos\ x+\dfrac{1}{2}\left(\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ x-\hspace{2pt}\mathrm{sen}\ 5x\right)$.

1. a) Resolva a equação $f(x) = 0$ no intervalo $\left(0,\ \pi \right)$.
   

2. b) O gráfico de $f$ pode interceptar a reta de equação $y =\dfrac{8}{5}$? Explique sua resposta.
   

Considere a função $f(x) = x\sqrt{(1 - 2x^2)}$

1. a) Determine as constantes reais $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ de modo que $${\left(f\left(x\right)\right)}^2 = \alpha \left[{\left(x^2 + \beta \right)}^2 + \gamma \right]$$
   

2. b) Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação $2x^2 + y^2 = 1$.