USP 1994 Matemática - Questões

O jogo da sena consiste no sorteio de $6$ números distintos escolhidos ao acaso, entre os números $1, 2, 3, \dots,$ até $50$. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de $6$ números distintos entre os $50$ possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem $4$ (quadra), $5$ (quina) ou todos os $6$ (sena) números sorteados.

Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe $20$ números e faz todos os ${20 \choose 6} = 38760$ jogos possíveis de serem realizados com esses $20$ números.

Realizado o sorteio, ele verifica que todos os $6$ números sorteados estão entre os $20$ que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena.

1. a) quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu?
   

2. b) quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu?
   

Considere o sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} x - my = 1-m \\ (1+m)x + y = 1 \end{array} \right.$$

1. a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real $m$.
   

2. b) Determine $m$ para que o valor de $x$ seja o maior possível.
   

1. a) Dada a matriz $A = \left[ \begin{array}{cc} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right]$, calcule a sua inversa $A^{-1}$.
   

2. b) A relação especial, que você deve ter observado entre $A$ e $A^{-1}$ acima, seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de: $$\left[ \begin{array}{cc} -3 & 4 \\ -2 & 3 \end{array} \right]; \ \left[ \begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array} \right]; \ \left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ Generalize e demonstre o resultado observado.
   

João dia a Pedro: se você me der $\dfrac{1}{5}$ do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ $6.000,00$ do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto dinheiro possui cada um?

Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com $30\%$ de desconto sobre o preço de tabela ou no cartão de crédito com $10\%$ de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por R$ $7.000,00$ no cartão sairá por