USP 1983 Matemática - Questões

O polinômio $x^5+x^4-5x^2+4x+4m$ tem uma raiz igual $a -1$.

1. a) Determine $m$.
   

2. b) Fatore o polinômio num produto de binômios de $1º$ grau.
   

Dadas as matrizes $A = \left[ \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array} \right]$ e $B = \left[ \begin{array}{cc} 1 & b \\ b & 1 \end{array} \right]$, determine $a$ e $b$, de modo que $AB = I$, onde $I$ é a matriz identidade.

Seja $M$ a matriz dos coeficientes do sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \end{array} \right.$$

1. a) Calcule o determinante de $M$.
   

2. b) Prove que o sistema admite uma única solução.
   

O número $x = \left[ \left( \sqrt{2} \right)^{\sqrt{2}} \right]^{\sqrt{2}}$ é racional.

1. a) Usando propriedades das potências, calcule $x$.
   

2. b) Prove que existem dois números irracionais $\alpha$ e $\beta$ tais que $\alpha^\beta$ é racional.
   

1. a) Esboce o gráfico da função $y = 2^{|\log\ 2x|}$
   

2. b) Ache a intersecção desse gráfico desse gráfico com a reta de equação $y = \dfrac{x}{2} + 1$